deSignale

Einen sehr schönen Artikel dazu, gibt es auf Perlen vom Bodensee!

Von mir eine herzliche Gratulation und ich wünsche dem amtierenden Europameister und WM-Kandidaten, dass er auch noch die bedeutende ELO-Marke von 2700 schafft!

Die fünfte Ableitung von tanh(x) ist - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3).

Wobei tanh Tangens hyperbolicus
und sech Sekans hyperbolicus meint.

Um diese Ableitung zu finden, leitet man die Funktion tanh(x) wiederholt ab und wendet dabei die Ableitungsregeln für hyperbolische Funktionen, insbesondere die Produktregel und die Kettenregel, an.

Schritt-für-Schritt-Herleitung:

1. Ableitung:
d/dx (tanh x) = sech²(x)

2. Ableitung:
d/dx (sech²(x)) = 2 sech(x) * d/dx(sech(x))
= 2 sech(x) * (-sech(x)tanh(x))
= -2 sech²(x)tanh(x)

3. Ableitung:
d/dx (-2 sech²(x)tanh(x)) = -2 * [d/dx(sech²(x)) * tanh(x) + sech²(x) * d/dx(tanh(x))]
= -2 * [(-2 sech²(x)tanh(x)) * tanh(x) + sech²(x) * sech²(x)]
= -2 * [-2 sech²(x)tanh²(x) + sech⁴(x)]
= 4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x)

4. Ableitung:
d/dx (4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x))
= 4 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh²(x) + sech²(x)(2tanh(x)sech²(x))] - 2 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))]
= 4 * [-2 sech²(x)tanh³(x) + 2 sech⁴(x)tanh(x)] + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= -8 sech²(x)tanh³(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= 8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x)

5. Ableitung:
d/dx (8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x))
= 8 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))tanh(x) + sech⁴(x)sech²(x)] - 8 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh³(x) + sech²(x)(3tanh²(x)sech²(x))]
= 8 * [-4 sech⁴(x)tanh²(x) + sech⁶(x)] - 8 * [-2 sech²(x)tanh⁴(x) + 3 sech⁴(x)tanh²(x)]
= -32 sech⁴(x)tanh²(x) + 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 24 sech⁴(x)tanh²(x)
= 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 56 sech⁴(x)tanh²(x)

Nach weiterer Vereinfachung mit Hilfe der Identität sech²(x) = 1 - tanh²(x) und der Produktregel erhalten wir das Endergebnis.
Das Ergebnis ist: - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3) .