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Donnerstag, 28. Dezember 2006
Poincaré Vermutung begründet höherdimensionale Räume
klauslange,12:17h
Ein interessanter Grundgedanke in der Modellbildung ist dieser:
Wenn Du die Wirklichkeit beschreibst, dann suche dazu das einfachste Modell, das nach den bisherigen Beobachtungen möglich ist.
Diese Idee der Einfachheit in der Natur hat sich schon gut bewährt. Ein Beispiel ist in den Planetenbahnen zu sehen. Man versuchte die Planetenbewegungen durch sog. Epizyklen zu erklären, weil man den Kreis als fundamentale Einheit ansah. So konstruierte man Kreisbahnen, die sich wieder um die Bahnpunkte eines größeren Kreises bewegten usw. Man näherte sich mit diesen Konstruktionen doch ganz gut an die beobachteten Planetenbahnen an, hatte dafür aber ein hochkompliziertes System. Mit der Zugrundelegung von elliptischen Planetenbahnen konnten die Berechnungen wesentlich vereinfacht werden. Nicht nur das, die Planeten bewegen sich wirklich auf elliptischen Bahnen. Die einfachere mathematische Beschreibung entspricht sogar der Wirklichkeit der Himmelsmechanik.
Viele Kritiker stehen nun mit der Argumentation der Vereinfachung des Modells der Verwendung von Extradimensionen der Raumzeit entgegen. Sie sagen, dass Extradimensionen die mathematische Beschreibung unnötig verkomplizieren würden und schon von daher sehr skeptisch zu beurteilen seien.
Doch genau das Gegenteil trifft zu. Anhand der Poincaré - Vermutung möchte ich das verdeutlichen.
Schauen wir uns die Poincaré Vermutung an. Dies tun wir in leicht verständlicher Weise mit Hilfe des guten "Zeit"-Artikels
http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Topologie .
Interessant ist hierbei, dass die topologische Oberflächenbestimmung ausgerechnet für die Dimension n = 3 am kompliziertesten ist. Seit 1904 harrte dieser Fall einer Lösung und nun nach 100 Jahren gilt das Rätsel als gelöst.
Für höhere Dimesnionenzahlen ab n=4 sind die topologischen Betrachtungen viel einfacher (also relativ zum Problem, für sich genommen ist das ganze Prozedere alles andere als trivial).
Wir sehen somit, dass die Verwendung höherer Dimensionen auch aus topologischer Sicht - das ist bei dieser Betrachtung wesentlich - die Modellierung erheblich vereinfacht und nicht unnötig umständlicher gestaltet.
Von daher spricht das Vereinfachungsprinzip für Extradimensionen der Raumzeit und nicht dagegen.
Wenn Du die Wirklichkeit beschreibst, dann suche dazu das einfachste Modell, das nach den bisherigen Beobachtungen möglich ist.
Diese Idee der Einfachheit in der Natur hat sich schon gut bewährt. Ein Beispiel ist in den Planetenbahnen zu sehen. Man versuchte die Planetenbewegungen durch sog. Epizyklen zu erklären, weil man den Kreis als fundamentale Einheit ansah. So konstruierte man Kreisbahnen, die sich wieder um die Bahnpunkte eines größeren Kreises bewegten usw. Man näherte sich mit diesen Konstruktionen doch ganz gut an die beobachteten Planetenbahnen an, hatte dafür aber ein hochkompliziertes System. Mit der Zugrundelegung von elliptischen Planetenbahnen konnten die Berechnungen wesentlich vereinfacht werden. Nicht nur das, die Planeten bewegen sich wirklich auf elliptischen Bahnen. Die einfachere mathematische Beschreibung entspricht sogar der Wirklichkeit der Himmelsmechanik.
Viele Kritiker stehen nun mit der Argumentation der Vereinfachung des Modells der Verwendung von Extradimensionen der Raumzeit entgegen. Sie sagen, dass Extradimensionen die mathematische Beschreibung unnötig verkomplizieren würden und schon von daher sehr skeptisch zu beurteilen seien.
Doch genau das Gegenteil trifft zu. Anhand der Poincaré - Vermutung möchte ich das verdeutlichen.
Schauen wir uns die Poincaré Vermutung an. Dies tun wir in leicht verständlicher Weise mit Hilfe des guten "Zeit"-Artikels
http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Topologie .
Interessant ist hierbei, dass die topologische Oberflächenbestimmung ausgerechnet für die Dimension n = 3 am kompliziertesten ist. Seit 1904 harrte dieser Fall einer Lösung und nun nach 100 Jahren gilt das Rätsel als gelöst.
Für höhere Dimesnionenzahlen ab n=4 sind die topologischen Betrachtungen viel einfacher (also relativ zum Problem, für sich genommen ist das ganze Prozedere alles andere als trivial).
Wir sehen somit, dass die Verwendung höherer Dimensionen auch aus topologischer Sicht - das ist bei dieser Betrachtung wesentlich - die Modellierung erheblich vereinfacht und nicht unnötig umständlicher gestaltet.
Von daher spricht das Vereinfachungsprinzip für Extradimensionen der Raumzeit und nicht dagegen.
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