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Die fünfte Ableitung von tanh(x) ist - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3).

Wobei tanh Tangens hyperbolicus
und sech Sekans hyperbolicus meint.

Um diese Ableitung zu finden, leitet man die Funktion tanh(x) wiederholt ab und wendet dabei die Ableitungsregeln für hyperbolische Funktionen, insbesondere die Produktregel und die Kettenregel, an.

Schritt-für-Schritt-Herleitung:

1. Ableitung:
d/dx (tanh x) = sech²(x)

2. Ableitung:
d/dx (sech²(x)) = 2 sech(x) * d/dx(sech(x))
= 2 sech(x) * (-sech(x)tanh(x))
= -2 sech²(x)tanh(x)

3. Ableitung:
d/dx (-2 sech²(x)tanh(x)) = -2 * [d/dx(sech²(x)) * tanh(x) + sech²(x) * d/dx(tanh(x))]
= -2 * [(-2 sech²(x)tanh(x)) * tanh(x) + sech²(x) * sech²(x)]
= -2 * [-2 sech²(x)tanh²(x) + sech⁴(x)]
= 4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x)

4. Ableitung:
d/dx (4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x))
= 4 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh²(x) + sech²(x)(2tanh(x)sech²(x))] - 2 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))]
= 4 * [-2 sech²(x)tanh³(x) + 2 sech⁴(x)tanh(x)] + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= -8 sech²(x)tanh³(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= 8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x)

5. Ableitung:
d/dx (8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x))
= 8 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))tanh(x) + sech⁴(x)sech²(x)] - 8 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh³(x) + sech²(x)(3tanh²(x)sech²(x))]
= 8 * [-4 sech⁴(x)tanh²(x) + sech⁶(x)] - 8 * [-2 sech²(x)tanh⁴(x) + 3 sech⁴(x)tanh²(x)]
= -32 sech⁴(x)tanh²(x) + 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 24 sech⁴(x)tanh²(x)
= 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 56 sech⁴(x)tanh²(x)

Nach weiterer Vereinfachung mit Hilfe der Identität sech²(x) = 1 - tanh²(x) und der Produktregel erhalten wir das Endergebnis.
Das Ergebnis ist: - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3) .

Forscher zeigen mit einem neuem mathematischen Rahmen ein aktualisiertes Evolutionsmodell, dass sich lebende Systeme in einer „Split-and-Hit-the-Gas“-Dynamik entwickeln, bei der neue Linien eher in plötzlichen Schüben als während eines langen Marathons allmählicher Veränderungen auftreten.

Dieses auf fossilen Datensätzen ganz unterschiedlicher Tierstämme basierende Theorie zeigt einmal mehr den Unterschied zwischen dem, was ich als Evolutionismus bezeichne, eben weil die vorliegenden Fossildaten ignoriert werden, und dem, was eine evidenzbasierte Evolutionstheorie ausmacht.

Es berichtet ausführlich quantamagazine.org.