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Wie im zweiten Teil ( http://designale.blogger.de/stories/1649363/ ) sehr schön zu sehen war, gibt es interessante Beispiele für Zahlen mit drei unterschiedlichen Primfaktoren. Diese Zahlen lassen sich ohne Rest durch ihre Primfaktorsumme teilen.

Während es selbstverständlich auch mehr unterschiedliche Primfaktoren für eine Zahl gibt, deren Primfaktorensumme sie ohne Rest teilt, so kann man sich relativ leicht ausrechnen, dass es nicht zwei Primfakoren a und b

mit 1 < a < b und

a*b/(a+b) = n,

wobei n eine natürliche Zahl ist,

gibt.

Für drei Primfaktoren hingegen treffen wir alte Bekannte, wenn wir einen Faktor mit 2 vorgeben.

Dann haben wir

für

a*b*c/(a+b+c) mit a = 2

und o.B.d.A

2*b*c/(2+b+c) = b (*)

woraus

c = b + 2

folgt.

Die Gleichung (*) bildet somit die Menge der Primzahlenzwillinge ab.

Für p+q|pq gibt es selbstverständlich nur p=q=2. Für 2+p+q|2pq erwähnen Sie bereits die Primzahlwillinge (p,q). Für 3+p+q|3pq bin ich schnell auf die arithmetischen Progressionen (3,p,2p-3) gekommen. Sie erwähnten bereits 03+13+33|03*13*23. So ich mich nicht verrechnet habe, ergibt die nächstmögliche Zehnerpotenz:

000003+100003+200003 teilt 000003*100003*200003

Alle p+q+r|pqr ermittelt man mit der Formel r=pq-p-q. Die ersten Werte sind in A160394 zu finden.

Da unter vier Faktoren einer gerade sein muß, ist nach p+q+r+2|2pqr zu suchen, oBdA also p+q+r+2=pqr,2pq,pq,2p. Der erste Fall gibt die triviale Lösung, der vierte ordnet sich dem dritten unter. Der zweite Fall führt auf q=2,r=3p-4, der dritte auf r=pq-p-q-2. Die ersten Werte lauten demnach:

16,60,84,150,220,308,476,650,884,..

Mit fünf und mehr Faktoren besteht natürlich eine hohe Wahlfreiheit. Die Ergebnisse sind aber auch recht groß. Trotzdem gibt es laut A046346 insgesamt 42 Treffen unterhalb von 1000:

4,16,27,30,60,70,72,84,105,150,180,220,231,240,...

72 ist der kleinste mit 5 Faktoren, 256 mit 8 und 288 mit 7. Die 6 ziert sich, schlägt dann mit 528, 540 und 560 aber dreimal in Folge zu.

Fordert man Verschiedenheit der Faktoren, so scheiden vornehmlich die kleinen Zahlen mit vielen Faktoren aus. Es bleiben aber

30,70,105,231,286,627,646,805,897,1122,...

gemäß A131647. Die erste mit mehr als drei Faktoren ist 1122=2*3*11*17. Von Zahlen mit drei Faktoren scheidet nur die triviale 27 aus, weil für Zahlen ppr mit r=p(p-2) abgesehen von r=3 keine Primzahl vorliegt.