Mittwoch, 18. Februar 2026
Eine neue Komplexitätstheorie für Quantenberechnungen
klauslange,16:38h
Ein sehr interessanter Artikel, inklusive Interview, über die Erarbeitung einer neuen Komplexitätstheorie für Quantenkalkulationen, bringt quantamagazine.org.
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Dienstag, 17. Februar 2026
Der Simplex-Algorithmus
klauslange,14:44h
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Montag, 22. Dezember 2025
Mathematischer Durchbruch: Dijkstra-Algorithmus unterboten!
klauslange,20:40h
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Donnerstag, 11. Dezember 2025
Entwicklung zur ABC-Vermutung und Mochizuki
klauslange,20:31h
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Sonntag, 9. November 2025
Was ist algebraische Topologie?
klauslange,19:11h
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Sonntag, 26. Oktober 2025
300 Jahre alte Geometrie-Vermutung nun mit Gegenbeispiel widerlegt
klauslange,19:02h
Eine 300 Jahre alte Vermutung aus dem Bereich der Geometrie konnte nun anhand eines Gegenbeispiels widerlegt werden.
Es berichtet quantamagazine.org.
Es berichtet quantamagazine.org.
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Samstag, 13. September 2025
Ein neuer Stern am Mathe-Himmel: Hannah Cairo
klauslange,20:51h
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Montag, 8. September 2025
Fourier-Analysis
klauslange,20:32h
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Donnerstag, 4. September 2025
Was ist die 5. Ableitung von tanh(x)?
klauslange,21:03h
Die fünfte Ableitung von tanh(x) ist - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3).
Wobei tanh Tangens hyperbolicus
und sech Sekans hyperbolicus meint.
Um diese Ableitung zu finden, leitet man die Funktion tanh(x) wiederholt ab und wendet dabei die Ableitungsregeln für hyperbolische Funktionen, insbesondere die Produktregel und die Kettenregel, an.
Schritt-für-Schritt-Herleitung:
1. Ableitung:
d/dx (tanh x) = sech²(x)
2. Ableitung:
d/dx (sech²(x)) = 2 sech(x) * d/dx(sech(x))
= 2 sech(x) * (-sech(x)tanh(x))
= -2 sech²(x)tanh(x)
3. Ableitung:
d/dx (-2 sech²(x)tanh(x)) = -2 * [d/dx(sech²(x)) * tanh(x) + sech²(x) * d/dx(tanh(x))]
= -2 * [(-2 sech²(x)tanh(x)) * tanh(x) + sech²(x) * sech²(x)]
= -2 * [-2 sech²(x)tanh²(x) + sech⁴(x)]
= 4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x)
4. Ableitung:
d/dx (4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x))
= 4 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh²(x) + sech²(x)(2tanh(x)sech²(x))] - 2 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))]
= 4 * [-2 sech²(x)tanh³(x) + 2 sech⁴(x)tanh(x)] + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= -8 sech²(x)tanh³(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= 8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x)
5. Ableitung:
d/dx (8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x))
= 8 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))tanh(x) + sech⁴(x)sech²(x)] - 8 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh³(x) + sech²(x)(3tanh²(x)sech²(x))]
= 8 * [-4 sech⁴(x)tanh²(x) + sech⁶(x)] - 8 * [-2 sech²(x)tanh⁴(x) + 3 sech⁴(x)tanh²(x)]
= -32 sech⁴(x)tanh²(x) + 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 24 sech⁴(x)tanh²(x)
= 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 56 sech⁴(x)tanh²(x)
Nach weiterer Vereinfachung mit Hilfe der Identität sech²(x) = 1 - tanh²(x) und der Produktregel erhalten wir das Endergebnis.
Das Ergebnis ist: - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3) .
Wobei tanh Tangens hyperbolicus
und sech Sekans hyperbolicus meint.
Um diese Ableitung zu finden, leitet man die Funktion tanh(x) wiederholt ab und wendet dabei die Ableitungsregeln für hyperbolische Funktionen, insbesondere die Produktregel und die Kettenregel, an.
Schritt-für-Schritt-Herleitung:
1. Ableitung:
d/dx (tanh x) = sech²(x)
2. Ableitung:
d/dx (sech²(x)) = 2 sech(x) * d/dx(sech(x))
= 2 sech(x) * (-sech(x)tanh(x))
= -2 sech²(x)tanh(x)
3. Ableitung:
d/dx (-2 sech²(x)tanh(x)) = -2 * [d/dx(sech²(x)) * tanh(x) + sech²(x) * d/dx(tanh(x))]
= -2 * [(-2 sech²(x)tanh(x)) * tanh(x) + sech²(x) * sech²(x)]
= -2 * [-2 sech²(x)tanh²(x) + sech⁴(x)]
= 4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x)
4. Ableitung:
d/dx (4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x))
= 4 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh²(x) + sech²(x)(2tanh(x)sech²(x))] - 2 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))]
= 4 * [-2 sech²(x)tanh³(x) + 2 sech⁴(x)tanh(x)] + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= -8 sech²(x)tanh³(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= 8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x)
5. Ableitung:
d/dx (8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x))
= 8 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))tanh(x) + sech⁴(x)sech²(x)] - 8 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh³(x) + sech²(x)(3tanh²(x)sech²(x))]
= 8 * [-4 sech⁴(x)tanh²(x) + sech⁶(x)] - 8 * [-2 sech²(x)tanh⁴(x) + 3 sech⁴(x)tanh²(x)]
= -32 sech⁴(x)tanh²(x) + 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 24 sech⁴(x)tanh²(x)
= 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 56 sech⁴(x)tanh²(x)
Nach weiterer Vereinfachung mit Hilfe der Identität sech²(x) = 1 - tanh²(x) und der Produktregel erhalten wir das Endergebnis.
Das Ergebnis ist: - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3) .
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Samstag, 23. August 2025
Busy Beaver Turingmaschine BB(6) mit neuer extrem großer Untergrenze
klauslange,19:45h
In einem sehr ausführlichen Artikel über spezielle Turing-Maschinen wurde nun eine neue Untergrenze für sogenannte fleißige Biber mit 6 Zuständen berichtet.
Darin wird auch beschrieben, was es mit diesen speziellen Turing Maschinen auf sich hat und welche Verknüpfungen zur reinen Mathematik bestehen.
Es berichtet quantamagazine.org.
Darin wird auch beschrieben, was es mit diesen speziellen Turing Maschinen auf sich hat und welche Verknüpfungen zur reinen Mathematik bestehen.
Es berichtet quantamagazine.org.
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