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Eine 300 Jahre alte Vermutung aus dem Bereich der Geometrie konnte nun anhand eines Gegenbeispiels widerlegt werden.

Es berichtet quantamagazine.org.

Die fünfte Ableitung von tanh(x) ist - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3).

Wobei tanh Tangens hyperbolicus
und sech Sekans hyperbolicus meint.

Um diese Ableitung zu finden, leitet man die Funktion tanh(x) wiederholt ab und wendet dabei die Ableitungsregeln für hyperbolische Funktionen, insbesondere die Produktregel und die Kettenregel, an.

Schritt-für-Schritt-Herleitung:

1. Ableitung:
d/dx (tanh x) = sech²(x)

2. Ableitung:
d/dx (sech²(x)) = 2 sech(x) * d/dx(sech(x))
= 2 sech(x) * (-sech(x)tanh(x))
= -2 sech²(x)tanh(x)

3. Ableitung:
d/dx (-2 sech²(x)tanh(x)) = -2 * [d/dx(sech²(x)) * tanh(x) + sech²(x) * d/dx(tanh(x))]
= -2 * [(-2 sech²(x)tanh(x)) * tanh(x) + sech²(x) * sech²(x)]
= -2 * [-2 sech²(x)tanh²(x) + sech⁴(x)]
= 4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x)

4. Ableitung:
d/dx (4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x))
= 4 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh²(x) + sech²(x)(2tanh(x)sech²(x))] - 2 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))]
= 4 * [-2 sech²(x)tanh³(x) + 2 sech⁴(x)tanh(x)] + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= -8 sech²(x)tanh³(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= 8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x)

5. Ableitung:
d/dx (8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x))
= 8 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))tanh(x) + sech⁴(x)sech²(x)] - 8 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh³(x) + sech²(x)(3tanh²(x)sech²(x))]
= 8 * [-4 sech⁴(x)tanh²(x) + sech⁶(x)] - 8 * [-2 sech²(x)tanh⁴(x) + 3 sech⁴(x)tanh²(x)]
= -32 sech⁴(x)tanh²(x) + 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 24 sech⁴(x)tanh²(x)
= 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 56 sech⁴(x)tanh²(x)

Nach weiterer Vereinfachung mit Hilfe der Identität sech²(x) = 1 - tanh²(x) und der Produktregel erhalten wir das Endergebnis.
Das Ergebnis ist: - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3) .

In einem sehr ausführlichen Artikel über spezielle Turing-Maschinen wurde nun eine neue Untergrenze für sogenannte fleißige Biber mit 6 Zuständen berichtet.

Darin wird auch beschrieben, was es mit diesen speziellen Turing Maschinen auf sich hat und welche Verknüpfungen zur reinen Mathematik bestehen.

Es berichtet quantamagazine.org.

Die Allgemeine Relativitätstheorie von Einstein gilt für Bereiche, in dem die Krümmung der Raumzeit glatt ist.

Nun haben Mathematiker einen Beweis erbracht, der auch eine Ausweitung der Berechnungen der ART auf zackige Raumzeit-Gebiete, also sozusagen mit Ecken und Spitzen, ermöglicht.

Es berichtet sehr ausführlich quantamagazine.org.