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Die fünfte Ableitung von tanh(x) ist - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3).

Wobei tanh Tangens hyperbolicus
und sech Sekans hyperbolicus meint.

Um diese Ableitung zu finden, leitet man die Funktion tanh(x) wiederholt ab und wendet dabei die Ableitungsregeln für hyperbolische Funktionen, insbesondere die Produktregel und die Kettenregel, an.

Schritt-für-Schritt-Herleitung:

1. Ableitung:
d/dx (tanh x) = sech²(x)

2. Ableitung:
d/dx (sech²(x)) = 2 sech(x) * d/dx(sech(x))
= 2 sech(x) * (-sech(x)tanh(x))
= -2 sech²(x)tanh(x)

3. Ableitung:
d/dx (-2 sech²(x)tanh(x)) = -2 * [d/dx(sech²(x)) * tanh(x) + sech²(x) * d/dx(tanh(x))]
= -2 * [(-2 sech²(x)tanh(x)) * tanh(x) + sech²(x) * sech²(x)]
= -2 * [-2 sech²(x)tanh²(x) + sech⁴(x)]
= 4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x)

4. Ableitung:
d/dx (4 sech²(x)tanh²(x) - 2 sech⁴(x))
= 4 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh²(x) + sech²(x)(2tanh(x)sech²(x))] - 2 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))]
= 4 * [-2 sech²(x)tanh³(x) + 2 sech⁴(x)tanh(x)] + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= -8 sech²(x)tanh³(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x) + 8 sech⁴(x)tanh(x)
= 8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x)

5. Ableitung:
d/dx (8 sech⁴(x)tanh(x) - 8 sech²(x)tanh³(x))
= 8 * [4 sech³(x)(-sech(x)tanh(x))tanh(x) + sech⁴(x)sech²(x)] - 8 * [2 sech(x)(-sech(x)tanh(x))tanh³(x) + sech²(x)(3tanh²(x)sech²(x))]
= 8 * [-4 sech⁴(x)tanh²(x) + sech⁶(x)] - 8 * [-2 sech²(x)tanh⁴(x) + 3 sech⁴(x)tanh²(x)]
= -32 sech⁴(x)tanh²(x) + 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 24 sech⁴(x)tanh²(x)
= 8 sech⁶(x) + 16 sech²(x)tanh⁴(x) - 56 sech⁴(x)tanh²(x)

Nach weiterer Vereinfachung mit Hilfe der Identität sech²(x) = 1 - tanh²(x) und der Produktregel erhalten wir das Endergebnis.
Das Ergebnis ist: - sech(x) tanh(x) sech²(x) (2 tanh²(x) + 3) .

In einem sehr ausführlichen Artikel über spezielle Turing-Maschinen wurde nun eine neue Untergrenze für sogenannte fleißige Biber mit 6 Zuständen berichtet.

Darin wird auch beschrieben, was es mit diesen speziellen Turing Maschinen auf sich hat und welche Verknüpfungen zur reinen Mathematik bestehen.

Es berichtet quantamagazine.org.

Die Allgemeine Relativitätstheorie von Einstein gilt für Bereiche, in dem die Krümmung der Raumzeit glatt ist.

Nun haben Mathematiker einen Beweis erbracht, der auch eine Ausweitung der Berechnungen der ART auf zackige Raumzeit-Gebiete, also sozusagen mit Ecken und Spitzen, ermöglicht.

Es berichtet sehr ausführlich quantamagazine.org.

An anderer Stelle habe ich ja schon vor Jahren auf Emmy Noethers Theoreme zu Symmetrien und Erhaltungssätze in der Physik, ohne die wir heute nicht den Wissenssprung hätten, aufmerksam gemacht.

Und obwohl das schon eine großartige Leistung ist, meines Erachtens sogar bedeutender als die berühmte Relativitätstheorie von Einstein, zeigt sich das Genie dieser Ausnahmemathematikerin noch auf viel größerer Bühne Ihres Fachs.

Was wäre noch möglich gewesen, wenn ihr nicht als Frau so viele Steine in den Weg gelegt worden wären?

Eine Würdigung:

Mitte der 90er Jahre brachte der Beweis des großen Fermatschen Satzes durch Andrew Wiles viel Aufsehen hervor. Kernbestandteil des Beweises war die Verbindung von Modulformen und elliptischen Kurven.

Nun haben weitere Mathematiker diese Verbindung ausgebaut und so einen großen Durchbruch erzielt!

Es berichtet quantamagazine.org.

Bei manchen berühmten Zahlen gab es schon länger Beweise, um die Frage zu beantworten, ob diese rational - also als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellbar - sind oder eben nicht, sie also irrational sind.

Nun gab es einen Durchbruch zur Entscheidung solcher Fragen bei Zahlen wichtiger Funktionen.

Näheres in einem ausführlichen Artikel auf quantamagazine.org.