deSignale

Wie schon im Zusammenhang mit Terence Taos Ergebnis (hier ) angemerkt, ist der Beweis von Winogradow, dass ab einer bestimmten Konstante C alle ungeraden Zahlen wirklich als Summe von höchstens drei Primzahlen dargestellt werden können, nicht praktikabel.

Warum?

Die Konstante hat den Betrag

C = e^3100

D.h. man kann nicht alle Zahlen bis dorthin per Computerberechnungen - also brute force - ermitteln.

Tao hat nun mit seinem Ergebnis einen Weg gewiesen, womit ihm immerhin die Darstellbarkeit aller ungeraden Zahlen größer 1 mit höchstens fünf Primzahlen gelang.

Darauf referenzierend hat nun H.A. Helfgott diese Grenze von C soweit heruntergedrückt, dass alle ausstehenden Computerberechnungen praktikabel sind. D.h. er hat prinzipiell die schwache Goldbachvermutung bewiesen.

Ein Vorabdruck findet sich in arXiv.org.

Abstract. The ternary Goldbach conjecture states that every odd number
n 7 is the sum of three primes. The estimation of sums of the form
Pp≤x e(p), = a/q + O(1/q^2), has been a central part of the main approach
to the conjecture since (Vinogradov, 1937). Previous work required q
or x to be too large to make a proof of the conjecture for all n feasible.
The present paper gives new bounds on minor arcs and the tails of major
arcs. For q 4 · 10^6, these bounds are of the strength needed to solve the
ternary Goldbach conjecture. Only the range q 2 [10^5, 4 · 10^6] remains to be
checked, possibly by brute force, before the conjecture is proven for all n.
The new bounds are due to several qualitative improvements. In particular,
this paper presents a general method for reducing the cost of Vaughan’s
identity, as well as a way to exploit the tails of minor arcs in the context of
the large sieve.

Datum von gestern. Mit anderen Worten: Es steht noch die Beweisprüfung aus.

Wer ist H.A. Helfgott?

Harald Andres Helfgott

Terence Tao hat einen Beweis vorgelegt, der besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 1 als Summe von höchstens fünf Primzahlen dargestellt werden kann, wie spiegel-online berichtet: hier.

Terence Tao ist schon sehr ernst zu nehmen und vorbehaltlich einer Beweisprüfung dürfte das Ergebnis wohl korrekt sein.

Interessant ist ein solches Ergebnis schon deswegen, weil es eine bislang unbewiesene Vermutung gibt, die besagt, dass jede ganze Zahl größer als 2 eine Summe aus zwei Primzahlen darstellbar ist. Ferner wird vermutet, dass für ungerade Zahlen größer als 1 höchstens drei Primzahlen sein sollen.

Für letzten Fall gibt es bereist den Beweis von Vinogradow, dass für genügend große ungerade Zahlen die Summe aus drei Primzahlen existiert. Aber was ist 'genügend groß'? Nun, solche Zahlen sind in erster Näherung superriesig, so dass sie keine praktische Relevanz besitzen.

Tao hat nun mit seinem Beweis ganz praktisch gezeigt, dass zumindest höchstens fünf Primzahlen als Summanden ausreichen, um jede ungerade Zahl größer als 1 darzustellen, also auch die in der Praxis relevanten.

Mit der von Tao benutzten Methode kann man wohl kaum die starke Vermutung für gerade Zahlen aus zwei Primzahlen beweisen, wohl könnten aber geschickte Modifikationen dazu führen, dass man mit maximal drei Primzahlsummanden jede ungerade Zahl größer 1 wird darstellen können. Insofern ist Taos Beweis schon ein Durchbruch.

Übrigens:
Unter Voraussetzung, dass die allgemeine Riemann-Hypothese wahr ist, ist die 'schwache' Goldbachvermutung für ungerade Zahlen - also eben die Summe aus maximal drei Primzahlen für jede ungerade Zahl größer 1 - bewiesen. Da aber die Riemannhypothese noch nicht bewiesen ist, kann man dazu nichts abschließend sagen...

Nein, um eine neue Ankündigung für einen Beweis der Riemann-Vermutung kann ich nicht liefern, aber eine interessante Meldung zeigt eine neue Art dieses Problem anzugehen.

Die Meldung hier.

Sensationell:




Emory math professor Ken Ono explains major breakthroughs in our understanding of partition numbers, the basis for adding and counting. Ono and his colleagues discovered that partition numbers behave like fractals, and they devised the first finite formula to calculate the partitions of any number. These new theories were hundreds of years in the making, and answer some famous old questions in math. To learn more, visit: www.emory.edu/esciencecommons.

Seit mehreren hundert Jahren suchen Mathematiker eine exakte Formel, mit der man explizit die Anzahl der Partitionen einer Zahl angeben kann.

Als Partition wird die Art und Weise verstanden, die man eine Zahl mit Summanden darstellen kann, wobei die Reihenfolge der Summanden unerheblich ist.

Für die 3 exisitieren außer die 3 selbst noch die Partitionen 1+1+1 und 2+1, somit hat die 3 auch drei Partitionen. Die 4 hätte dann fünf Partitionen usw., wobei die Anzahl der Partitionen schnell über alle Maßen steigt. So hat zum Beispiel die 10 genau 42 Partitionen.

Für größere Zahlen kann man die Anzahl der Partitionen bislang nur abschätzen. Doch damit ist nun Schluss, es wurde eine explizite Formel gefunden, wobei sich zudem noch eine tiefe strukturelle Beziehung offenbarte, denn dem Ganzen liegt für Primzahlen eine fraktale Struktur zugrunde.

science daily berichtet: http://www.sciencedaily.com/releases/2011/01/110120090950.htm

Und hier die originalen Beweise:

http://www.aimath.org/news/partition/

Das Jahr fängt wirklich sehr stark an!!!

Wie im zweiten Teil ( http://designale.blogger.de/stories/1649363/ ) sehr schön zu sehen war, gibt es interessante Beispiele für Zahlen mit drei unterschiedlichen Primfaktoren. Diese Zahlen lassen sich ohne Rest durch ihre Primfaktorsumme teilen.

Während es selbstverständlich auch mehr unterschiedliche Primfaktoren für eine Zahl gibt, deren Primfaktorensumme sie ohne Rest teilt, so kann man sich relativ leicht ausrechnen, dass es nicht zwei Primfakoren a und b

mit 1 < a < b und

a*b/(a+b) = n,

wobei n eine natürliche Zahl ist,

gibt.

Für drei Primfaktoren hingegen treffen wir alte Bekannte, wenn wir einen Faktor mit 2 vorgeben.

Dann haben wir

für

a*b*c/(a+b+c) mit a = 2

und o.B.d.A

2*b*c/(2+b+c) = b (*)

woraus

c = b + 2

folgt.

Die Gleichung (*) bildet somit die Menge der Primzahlenzwillinge ab.

Betrachtet man aus dem ersten Teil ( http://designale.blogger.de/stories/1641266/ ) die 4 genauer, so fällt auf, dass bei

2*2 = 2 + 2

2*2/(2+2) = 1

die Primfaktorensumme das Primfaktorenprodukt, also die Zahl selbst, ohne Rest teilt.

Dies gilt nicht nur in diesem einfachen Fall, sondern man sieht in

3*3*3/(3+3+3) = 3

und

5*5*5*5*5/(5+5+5+5+5) = 125

usw., dass dies für alle Primfaktorensummen dieser Art gilt.

Allgemein:

p^p/p^2 = p^(p-2),

denn die p-Gliedrige Primfaktorensumme aus Summanden der Zahl p ist stets p^2.

Aus diesem Grunde ist es viel interessanter nur solche zusammengesetzte Zahlen zu untersuchen, deren sämtliche Primfaktoren unterschiedlich sind.

Beispiele:

2*3*5/(2+3+5) = 3

3*5*7/(3+5+7) = 7

Ein besonders schönes Beispiel zum Schluss:

3*13*23/(3+13+23) = 23

Nehmen wir einmal ein beliebige Zahl wie 15, dann gibt es eine Quersumme ihrer Ziffern zu 1+5=6.

Eine interessante Variante der Summenbildung haben wir, wenn wir statt der Ziffern, die Primfaktoren der 15 summieren:

15=3*5

3+5=8

Wir können nun versuchen, diesen Vorgang der Primfaktorsummierung solange fortzusetzen, bis eine Primzahl als Summe übrig bleibt, von der es ja keine weiteren Primfaktoren geben kann.

Somit haben wir dann:

8=2*2*2

2+2+2=6

6=2*3

2+3=5

Die 15 wird also mit diesem Verfahren der Primzahl 5 zugeordnet.

Nur bei der 4 funktioniert die Zuordnung zu einer Primzahl nicht auf diese Weise, denn

4=2*2

und

2+2=4, so dass stets die 4 als neuer Ausgangspunkt
bestehen bleibt, ad infinum.

Für alle Zahlen, die keine Primzahlen sind, kann man jetzt eine Untersuchung vornehmen, die nicht vom Zahlensystem - das ja die Ziffern bereitstellt - abhängt.

Bei der 15 fällt z.B. auf, dass ihr als Primzahl letztlich einer ihrer Primfaktoren zugeordnet wurde.

Das funktioniert bei der 9 nicht, da ja

9=3*3; 3+3=6; 6=2*3; 2+3=5 ist.

Nehmen wir mal die 21 mit

21=3*7; 3+7=10; 10=2*5; 2+5=7.

Wieder haben wir einen ursprünglichen Primfaktor der Ausgangszahl zugeordnet. Man erkennt also einen Zusammenhang vom additiven zum multiplikativen Verhalten der Primzahlen...

Wie ich heute intern erfahren habe, gibt es Fortschritte in der Erforschung der Riemann Vermutung. Von einem vollständigen Beweis kann wohl nich nicht die Rede sein, aber ein vielversprechender Ansatz scheint nun weiter ausgebaut worden zu sein, so dass ein wichtiger Schritt zur Lösung vollzogen wurde.

Zu diesem Anlass möchte ich mal ein schönes Video zum Thema verlinken:

http://www.youtube.com/watch?v=GY0OpSzt2pc&translated=1

Und ein verwandtes Thema von Terence Tao:

http://www.youtube.com/watch?v=PtsrAw1LR3E&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=XpocOKj0lxs&feature=channel

Beschäftigt man sich mit Primzahlen, dann hat man es meist mit - vermutlich - unendlich vielen Primzahlen einer untersuchten Untermenge zu tun.

Eine der wenigen Ausnahmen sind die Wieferich Primzahlen. Von diesen sind bislang nur zwei bekannt und diese scheinen auch die einzigen zu sein. Ein Beweis dazu steht aber noch aus.

Es macht also Sinn, sich das Format dieser Primzahlen genauer anzusehen. Dies habe ich getan und ein neues Suchkriterium vorgeschlagen:

http://matheplanet.com/default3.html?article=1215

(Artikel in engl. Sprache)

Auf den Rechnern von

wieferich@home

könnte man dort fündig werden.

Interssant ist dabei eine Menge zu finden, die zwar mehr als zwei Primzahlen besitzt, jedoch dennoch nur endliche viele Elemente.