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Meine optimistische Sichtweise auf die Arbeiten von Mochizuki wird nun von Fachmathematikern geteilt.

Die Konferenz zu Mochizukis IUT-Arbeiten in Kyoto ist beendet und wird als voller Erfolg gewertet.

Nature News bringt dazu folgende Einschätzung: hier

Zur Zeit findet ein - dem vernehmen nach recht erfolgreiches - Seminar zu Shinichi Mochizukis Inter Universal Teichmüller Theorie statt (siehe u.a.hier). Spannend ist das deswegen, weil sein Methodenarsenal sozusagen als Nebenrechnung die abc - Vermutung beweist.

Während die Teilnehmer aus dem Oxforder Seminar im Dezember 2015 eher verwirrt kamen, scheint nun sehr viel mehr Klarheit zu herrschen.

Wie wichtig Mochizukis Theorie und seine Methoden sind, zeigt sich aber, wenn man seine Papers durchkämmt. In der vierten Abhandlung (hier) auf den Seiten 47 bis 53 sieht man, dass auch die wichtige Riemann-Vermutung so transformiert werden kann, dass sie lösbar wird. Der Beweis ist in der Abhandlung nicht explizit gebracht, im Gegensatz zur abc Vermutung, aber doch ein konkreter Weg vorgezeichnet.

Zwei Mathematiker finden eine interessante Eigenschaft aufeinander folgender Primzahlen: Sie haben viel seltener die gleiche Endziffer, als man zuvor erwartet hat. Unabhängig vom gewählten Zahlensystem!

Näheres dazu hier.

Mit dem Einsatz mehrere unabhängiger Computer und weiteren Überprüfungen ist die Entdeckung der 49. Mersenne-Primzahl gelungen.

Was es damit auf sich hat, kann man in der Entdeckungsmeldung nachlesen: hier.

Während anderer Berechnungen ist mir eine Idee gekommen:

Betrachten wir das Bildungsgesetz der Collatz-Folge (siehe hier).

Dann können wir dieses Bildungsgesetz modifizieren, in der Art:

Sei die Startzahl stets eine ungerade Zahl, die zusammengesetzt, also keine Primzahl ist.

Werden dann alle Primzahlen durch die Collatz-Folge generiert, wenn die Folge bei der zuerst erreichten Primzahl stoppt?

Wenn die Collatz-Vermutung richtig ist, dann haben wir stets spätestens bei der 2 einen Stopp.

Die 2 wird mit der Startzahl 1 erreicht: 1-4-2

Die 7 mit der nächstmöglichen Startzahl 9: 9-28-14-7

Aber was ist mit der 3 und der 5?

Schauen wir mal die nächstmöglichen Startzahlen an und stoppen stets bei der zuerst erreichten Primzahl, dann haben wir:

15 → 46 → 23
21 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2
25 → 76 → 38 → 19
27 → 82 → 41
33 → 100 → 50 → 25 → 76 → 38 → 19
35 → 106 → 53
39 → 118 → 59
45 → 136 → 68 → 34 → 17
49 → 148 → 74 → 37
51 → 154 → 77 → 232 → 116 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11
55 → 166 → 83
57 → 172 → 86 → 43
63 → 190 → 95 → 286 → 143 → 430 → 215 → 646 → 323 → 970 → 485 → 1456 → 728 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137
65 → 196 → 98 → 49 → 148 → 74 → 37
69 → 208 → 104 → 52 → 26 → 13
75 → 226 → 113
77 → 232 → 116 → 58 → 29
81 → 244 → 122 → 61
85 → 256 → 128 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2
87 → 262 → 131
91 → 274 → 137
93 → 280 → 140 → 70 → 35 → 106 → 53
95 → 286 → 143 → 430 → 215 → 646 → 323 → 970 → 485 → 1456 → 728 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137
99 → 298 → 149
105 → 316 → 158 → 79

So, ich denke das reicht, um einen kleinen Einblick zu geben.
Generiert wurden auf diese Weise:
2;7,11,13,17,19,23,29;37,41,43;53,59,61 usw.

Das ist schon ziemlich dicht, aber man erkennt auch Lücken.

Können wirklich alle Lücken bis auf die Zahl 3 auf diese Weise geschlossen werden?

Die 3 ist als Stopp-Zahl unter den modifizierten Bedingungen natürlich nicht möglich!

(Kann sich jeder selbst ausknobeln.)

Mit gleicher Methodik findet man schnell eine Zahl für den Stopp bei der 5:

213 → 640 → 320 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5

Fortschritte in der Verifikation des Mochizuki-Beweises zur abc- Vermutung.

Wichtige Passagen wurden von Ivan Fesenko nun in bekannte Mainstream - Form übersetzt.

Siehe hier.

Bei der Prüfung des Beweises der abc Vermutung von Mochizuki gibt es Fortschritte, wie u.a. Peter Woit berichtet: hier.

Zum einen gibt es Seminare um die grundlegende Theory für Fachleute verständlich zu machen und zum anderen wurden Abhandlungen an ein Mathejournal zur Prüfung gesandt.

Ferner hat sich ein Mathematiker intensiv ein halbes Jahr mit den Arbeiten Mochizukis beschäftigt und meint, dass die Theory korrekt ist.

Das alles ist sehr ermutugend, so dass wir spätestens im Jahr 2015 wissen, ob Mochizukis Beweis nun standhält oder nicht...

Nun ist es mir gelungen für alle Polyominos darstellende Gleichungen zu finden. Speziell für Hexominos sind diese Gleichungen sehr interessant und stellen auch neue Verbindungen zur Zahlentheorie her. Ich möchte nicht zuviel verraten, da ich die neuen Ergebnisse nicht nur in arxiv, sondern zuerst in einem Mathejournal veröffentlichen will.

Insbesondere für Würfelnetze sind die Gleichungen ein-eindeutig zum gehörigen Würfelnetz und kategorisieren die übrigen Hexominos. Die Nicht-Würfelnetze werden so auch noch einmal in zwei große Mengen aufgeteilt.

Während ich zunächst von einer physikalischen Nutzung der neuen Gleichungen absehe, kann ich versprechen, dass die innermathematischen Zusammenhänge sehr weitreichend sind...

James Maynard hat nun seine Abhandlung veröffentlicht, in der er mit neuen Methoden die Lücke von Primzahlen auf 600 schrumpft (welche unendlich oft vorkommt).

Wie ich schon vor einigen Monaten schrieb, konnte das Polymath8-Team um Terence Tao nicht unter 1000 kommen, was mit ihrem bisherige Rekord von unter 4700 auch belegt wurde. Eine Kombination von Maynards und Polymath8 könnte vielleicht noch einmal die 600 unterschreiten, aber das ist nicht sicher.

Einen Überlblicksartikel zu den aktuellen Ergebnissen habe ich hier gefunden.

Aufgrund der dort gemachten Äußerungen, schätze ich , dass bis Ende 2014 die Primzahllücke nur noch zweistellig sein wird...

Unabhängig vom Polymath8 Projekt von Tao et al. hat nun im Alleingang James Maynard den Abstand unendlich vieler Primzahlen auf 700 gedrückt!

Er benutzte eine neue Art von Berechnungen, die die Polymath8-Gruppe nicht verwendete.

Dazu ein Blog-Eintrag von Kowalski, der selbst im Polymath8 Projekt mitmacht: hier.