deSignale

Neue Kalkulation mit den von Tao et. al. gelieferten Randbedingungen bringt mich zu einem

k_0 = 790

und daraus resultierend, wenn ich auf die zusätzlichen Feinjustierungen verzichte und daher ohne Fragezeichen, auf ein

H = 6712 - 82*12 = 5728

Während Tao et. al. in ihrem öffentlichen Polymath-Projekt weiter darum kämpfen, die 10000er Marke zu unterbieten - die bisherigen Ergebnisse, die drunter liegen, tragen bislang alle ein Fragezeichen (und damit steht bislang 'mein' Rekord, der natürlich dort erarbeitete Werte nutzt), weil sie an noch nicht überprüfte Bedingungen geknüpft sind oder selbst noch einer Bestätigung harren -, hat eine andere Gruppe, die sich eher um die grundsätzlichen strukturellen Aspekte von Zhangs Arbeit kümmert, wohl einen Durchbruch geschafft.

Kowalski et. al. meinen, jene Methoden von Zhang, die selbst schon Neuerungen waren und mit denen erstmalig eine endliche Schranke für den unendlich vorkommenden Abstand zweier Primzahlen angegeben werden konnte, ersetzen zu können und so entscheidende Fortschritte zu reklamieren.

Insbesondere geht es um die von Zahng benutzen Ramanujan Summen und den Weyl-Abschätzungen. Beide Neuerungen werden ersetzt, so dass bislang prinzipielle Barrieren überwunden werden können.

Ich bin auf die Veröffentlichung gespannt (die ich, wie die Arbeit von Zhang und Tao's Ausführungen, natürlich nicht im Detail verstehen kann, nur strukturell die Idee - bestenfalls).

Zur Vorankündigung auf Kowalskis Blog gehts hier. Mit einem solchen Durchbruch würde man zwar noch nicht die Primzahlzwillings-Vermutung beweisen können. Aber ich denke schon, dass man auf zweistellige Abstände käme.

Bleibt man bei Zhangs Methoden, dann kommt man m.E. nicht unter 1000.

So, ich habe mal unter Verwendung der durch Tao et. al. herausgefundenen Werte für /varpi/ und /delta/ selbst gerechnet, um eine kleine Primzahllücke zu ermittelt, und komme nun auf eine Primlücke

H = 10818

für

k_0 = 1268.

Das liegt etwas unterhalb des bislang aktuell aufgeführten Rekords von H = 12006 in der Tabelle mit letztem Eintrag vom 23.06.2013.

Habe nun eine Abhandlung über den Zusammenhang von Primzahlen und sporadische Gruppen fertiggestellt.

Da das ePrint Archiv vixra.org auch alternative Theorien unterstützt, die abseits des Mainstreams sein können, bediene ich mich bei der Veröffentlichung dieser Plattform, obwohl meine Abhandlung rein mathematischer Natur ist.

Doch spätere Arbeiten zu Theorie von Burkhard Heim und der Urwort-Theorie von Michael König werden auf die Ergebnisse dieser Abhandlung zurückgreifen, so dass ich gleich alles unter vixra.org stelle.

In meiner Abhandlung geht es zunächst um neue Eigenschaften der sogenannten Monstergruppe, deren Primteiler ihrer Ordnungszahl die sogenannten supersingulären Primzahlen bilden.

In der Tat konnte ich zeigen, dass die Monstergruppe und ihre supersingulären Primzahlen in ganz anderer Hinsicht etwas besonderes sind, wenn man sie mit den weiteren sporadischen Gruppen und ihrer Ordnungszahlen mit den zugehörigen Primteilern vergleicht.

Ferner konnte ich zeigen, dass alle sporadischen Gruppen eine enge Beziehung zu Primzahlen haben, enger als vergleichbare Primzahlenmengen, die nicht nur aus den Primteilern der Ordnungszahlen dieser Gruppen bestehen.

Zur Abhandlung: Strong Relationship Between Prime Numbers and Sporadic Groups

Terence Tao und andere - gerade auch Computerexperten - kämpfen weiter um die Verkleinerung der Primzahllücken auf Basis der Arbeit von Yitang Zhang.

Bislang ist man (von 70 Millionen) auf

H < 2,5 * 10^5

angekommen.

Was sehr schön ist, aber doch noch sehr weit von dem eigentlichen Ziel

H = 2

entfernt ist.

Und ich bleibe dabei, dass man mit den Sieb-Methoden alleine, die in Zhangs Arbeit verbessert wurden, nicht bis auf 2 runter gelangen kann.

Ohne eine ganz neue Idee wird es - wie ich schon sagte - bestenfalls bis in einen Bereich von

999 < H < 10000

gehen.

Wenn man die eigentliche Primzahlzwillingsvermutung beweisen will, also

H = p - q = 2,

dann sind die Zweierpotenzen wichtig, und da kommt man selbst mit der noch unbewiesenen Elliot-Halberstam-Vermutung nur bis runter auf

2^4 = 16,

was schon sehr bemerkenswert ist, wie alles was kleiner als 2^10 ist.

Dennoch: Es ist spannend den Argumenten - zumindest strukturell - zu folgen, die die Experten von sich geben.

Eine Liste der besten Ergebnisse und auch für weitere Links findet sich hier.

Terence Tao und einige andere diskutieren nun in einem Online-Seminar Wege, wie man den Beweis von Yitang Zhang über Primzahlenlücken verbessern kann, damit die Lücke von Primzahlen p,q

p - q < 7 * 10^7

für unendlich viele p,q kleiner wird.

Dabei haben sie schon einige Fortschritte zu verzeichnen. Immerhin konnten sie diese Lücke auf

p - q < 4,9 * 10^6

um immerhin mehr als eine Zehnerpotenz herunterschrauben.

Nachdem ich nun gesehen habe, wo sie die Stellschrauben ansetzen, habe auch ich mich eines Kommentars nicht enthalten können und darauf hingewiesen, dass mit den von Zhang benutzten Methoden (gerade bei den Werten w und k_0) eine Verkleinerung unter

p - q < 10^3

nicht zu erreichen ist. Da muss man m. E. schon andere Geschütze auffahren.

Zum - laufenden - Online-lese/schreibe-Seminar von Tao geht es hier.

Wirklich spannend!

Nun ist es offiziell: Yitang Zhanks Beweis über unendlich viele Primzahlenpaare, deren Abstand kleiner als 70 Millionen ist, ist in den Annals of Mathematics akzeptiert: hier.

Noch eine Neuigkeit:

Es konnte bewiesen werden, dass es unendlich viele Primzahlenpaare p und q gibt,

mit p - q < 7*10^7

70 Million ist zwar noch eine recht große Zahl, und noch einiges entfernt von p - q = 2, aber es ist ein echter Durchbruch, der auf der Grundlage einer anderen Arbeit von Goldston aus dem Jahre 2005 fußt. Damals sorgte auch schon diese Arbeit für Aufsehen unter Zahlentheoretikern.

Yitang Zhang hat nun erstmals eine unabhängige Obergrenze von Primzahllücken bewiesen. Seine Abhandlung wurde für die Annals of Mathematics angenommen, wie New Scientist schreibt.

Nun wurde endlich die ternäre Goldbachvermutung bewiesen. Selbstverständlich muss der Beweis noch überprüft werden, aber die früheren Abhandlungen von Helfgott machen optimistisch. Sein Beweis hier.

Als Ende letzten Jahres ein Fehler in der Beweiskette zur abc Vermutung von Mochizuki gefunden wurde, versprach dieser in nicht allzu ferner Zukunft dazu eine Überarbeitung zu geben. Er hat Wort gehalten: hier, hier und hier.