Sonntag, 13. August 2006
Primzahlenzwillinge, Primsummen und Primpotenzsummen
klauslange,02:47h
In der Analyse der stabilen Elemente und deren Stabilitätslücken spielen ja die Quersummen eine besondere Rolle.
Dazu ein Exkurs der reinen Zahlentheorie:
Gibt es eine Verbindung zwischen Quersummen und Primzahlen?
Folgende Definitionen sollen eine Untersuchung flankieren:
Unter einer Primsumme soll eine Quersumme verstanden werden, die selbst eine Primzahl ist. Insbesondere sind hier Primsummen von Primzahlen interessant.
Neben den einstelligen Primzahlen, die ja ihre eigenen Quersummen und somit Primsummen sind, gibt es für zweistellige Primzahlen folgende Primsummen:
11 -> 2
23 -> 5
29 -> 11
41 -> 5
43 -> 7
47 -> 11
61 -> 7
67 -> 13
83 -> 11
89 -> 17
Unter einer Primpotenzsumme soll eine Quersumme verstanden werden, die selbst eine Potenz einer einzigen Primzahl ist (Primsummen sind somit Primpotenzsummen mit Exponent 1). Es sollen nur Primpotenzsummen mit Exponenten > 1 betrachtet werden. Dabei sollen die Primpotenzsummen von Primzahlen gebildet werden:
13 -> 2^2
17 -> 2^3
31 -> 2^2
53 -> 2^3
71 -> 2^3
79 -> 2^4
97 -> 2^4
Für die Primsummen kann man fragen, ob sich Primsummenzwillinge bilden lassen. Für den PZ (41;43) ist das möglich, es ist der PSZ (5;7).
Gibt es weitere? Unter welchen Umständen?
Was lässt sich in diesem Zusammenhang über die Primpotenzsummenbildung sagen?
Was ist zu Primzwillingen mit gleichen Quersummen zu sagen?
z.B.
11; 13 -> 101; 103
17; 19 -> 107; 109
Dazu ein Exkurs der reinen Zahlentheorie:
Gibt es eine Verbindung zwischen Quersummen und Primzahlen?
Folgende Definitionen sollen eine Untersuchung flankieren:
Unter einer Primsumme soll eine Quersumme verstanden werden, die selbst eine Primzahl ist. Insbesondere sind hier Primsummen von Primzahlen interessant.
Neben den einstelligen Primzahlen, die ja ihre eigenen Quersummen und somit Primsummen sind, gibt es für zweistellige Primzahlen folgende Primsummen:
11 -> 2
23 -> 5
29 -> 11
41 -> 5
43 -> 7
47 -> 11
61 -> 7
67 -> 13
83 -> 11
89 -> 17
Unter einer Primpotenzsumme soll eine Quersumme verstanden werden, die selbst eine Potenz einer einzigen Primzahl ist (Primsummen sind somit Primpotenzsummen mit Exponent 1). Es sollen nur Primpotenzsummen mit Exponenten > 1 betrachtet werden. Dabei sollen die Primpotenzsummen von Primzahlen gebildet werden:
13 -> 2^2
17 -> 2^3
31 -> 2^2
53 -> 2^3
71 -> 2^3
79 -> 2^4
97 -> 2^4
Für die Primsummen kann man fragen, ob sich Primsummenzwillinge bilden lassen. Für den PZ (41;43) ist das möglich, es ist der PSZ (5;7).
Gibt es weitere? Unter welchen Umständen?
Was lässt sich in diesem Zusammenhang über die Primpotenzsummenbildung sagen?
Was ist zu Primzwillingen mit gleichen Quersummen zu sagen?
z.B.
11; 13 -> 101; 103
17; 19 -> 107; 109
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wuerg,
Sonntag, 13. August 2006, 16:52
Da ich nicht sehe, wie die Primzahlen über die Tatsache hinaus, daß sie bis auf 2 alle ungerade sind, mit den chemischen Elementen in Zusammenhang stehen, habe ich mich nur kurz mit den Zahlen als solchen beschäftigt.
Primzahlen mit primer Quersumme oder mit einer Zweierpotenz als Quersumme scheint es reichlich zu geben. Die Zahl 3 selbst ist die einzige mit einer Dreierpotenz als Quersumme, weil mit der Quersumme auch die Zahl selbst durch drei teilbar ist. So habe ich wenigstens noch die kleinste Primzahl mit Quersumme 5*5=25 gesucht. Unterhalb von 1000 gibt es nur 5 Kandidaten:
Geht das Zwillingspaar (a,b) über eine Zehnergrenze hinweg (n>0), so steigen die Quersummen um den Betrag -d=7,16,25,34,43,... ab. Damit entsteht die Frage, für welche Primzahlzwilinge (a,b) die Quersummen p und q zwar beide prim sind, dennoch aber keinen Zwilling (p,q) bilden?
Mindesterfordernis ist natürlich n>0. Aber auch ungerade n scheiden aus. Unter 1000 findet sich nur (a,b)=(599,601) mit Quersummen (p,q)=(23,7). Damit ist (599,601) der kleinste Primzahlzwilling, dessen Quersummen zwar beide prim sind, jedoch keinen Primzahlzwilling bilden.
Primzahlquersummen | Zweierpotenzquersummen
Primzahlen mit primer Quersumme oder mit einer Zweierpotenz als Quersumme scheint es reichlich zu geben. Die Zahl 3 selbst ist die einzige mit einer Dreierpotenz als Quersumme, weil mit der Quersumme auch die Zahl selbst durch drei teilbar ist. So habe ich wenigstens noch die kleinste Primzahl mit Quersumme 5*5=25 gesucht. Unterhalb von 1000 gibt es nur 5 Kandidaten:
799 = 17 * 47 889 = 7 * 127 898 = 2 * 449 979 = 11 * 89 988 = 2 * 494 997 ist prim!Primzahlzwillinge haben durchaus gerne wieder Primzahlzwillinge als Quersummen. Neben dem erwähnten Paar (41,43) geht es weiter mit:
(137,139) -> (11,13) (191,193) -> (11,13) (197,199) -> (17,19) (227,229) -> (11,13) (281,283) -> (11,13) (461,463) -> (11,13) (641,643) -> (11,13) (821,823) -> (11,13) (827,829) -> (17,19) (881,883) -> (17,19)Wenn ich keinen übersehen habe, sind das alle unterhalb von 1000. Es ist keiner vom so einfach erscheinenden Typ (5,7) dabei. Dennoch gibt es neben (41,43) und (5,7) selbst natürlich weitere, die man mit der Hand leicht findet, weil sie nur recht kleine Ziffern haben können. Wenn ich keine übersehen habe, gibt es im vierstelligen Bereich nur
(1031,1033) (2111,2113) (4001,4003)Ist (a,b) Primzahlzwilling und (p,q) das Paar der zugehörigen Quersummen, so ist die Differenz d=q-p=2-9n, worin n die Anzahl endständiger Neunen in der Zahl a ist. Wenn d aufsteigend sein soll, muß n=0 und d=2 sein. Sind p und q dann Primzahlen, ist (p,q) auch ein Zwilling.
Geht das Zwillingspaar (a,b) über eine Zehnergrenze hinweg (n>0), so steigen die Quersummen um den Betrag -d=7,16,25,34,43,... ab. Damit entsteht die Frage, für welche Primzahlzwilinge (a,b) die Quersummen p und q zwar beide prim sind, dennoch aber keinen Zwilling (p,q) bilden?
Mindesterfordernis ist natürlich n>0. Aber auch ungerade n scheiden aus. Unter 1000 findet sich nur (a,b)=(599,601) mit Quersummen (p,q)=(23,7). Damit ist (599,601) der kleinste Primzahlzwilling, dessen Quersummen zwar beide prim sind, jedoch keinen Primzahlzwilling bilden.
Primzahlquersummen | Zweierpotenzquersummen
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klauslange,
Mittwoch, 16. August 2006, 18:29
Anzahl der PZwillinge
Zunächst einmal bin ich wieder mal erfreut, wie ausführlich Sie reagiert haben...
Wenn wir das Ganze mal umdrehen, dann haben wir einen Ansatz für eine Beweisstrategie für die Anzahl der Primzahlenzwillinge.
Gäbe es nur endlich viele Pzw., dann fassen wir die letzten a Pzwillinge als Quersummen auf unhd suchen nach möglichen Zahlen, aus denen sie gebildet wurden. Unter diesen Kandidaten suchen wir wiederum nach Primzahlzwillingen.
Also für (5; 7) fänden wir dann (41; 43) zum Beispiel.
Es wäre also zu zeigen, dass für jeden bekannten Primzahlzwilling, ein größerer Primzahlzwilling exisitert, aus dem der erstere als Quersumme gebildet wurde.
Mit anderen Worten: Es wäre ein konstruktiver Beweis dafür, dass es immer einen noch größeren PZwilling gibt, als bislang angenommen.
Soviel zur Strategie.
Destillieren wir als nächstes eine Konstruktionsvorschrift...
Wenn wir das Ganze mal umdrehen, dann haben wir einen Ansatz für eine Beweisstrategie für die Anzahl der Primzahlenzwillinge.
Gäbe es nur endlich viele Pzw., dann fassen wir die letzten a Pzwillinge als Quersummen auf unhd suchen nach möglichen Zahlen, aus denen sie gebildet wurden. Unter diesen Kandidaten suchen wir wiederum nach Primzahlzwillingen.
Also für (5; 7) fänden wir dann (41; 43) zum Beispiel.
Es wäre also zu zeigen, dass für jeden bekannten Primzahlzwilling, ein größerer Primzahlzwilling exisitert, aus dem der erstere als Quersumme gebildet wurde.
Mit anderen Worten: Es wäre ein konstruktiver Beweis dafür, dass es immer einen noch größeren PZwilling gibt, als bislang angenommen.
Soviel zur Strategie.
Destillieren wir als nächstes eine Konstruktionsvorschrift...
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wuerg,
Donnerstag, 17. August 2006, 02:40
Gewiß, könnte zu jedem Primzahlzwilling (p,q) ein weiterer (a,b) mit p und q als Quersume von a und b gebildet, dann hätte man eine unendliche aufsteigende Kette von Primzahlzwillingen konstruiert. Nur ist es wenig ratsam, sich das Leben durch eine derartige Verschärfung der Behauptung, es gäbe unendlich viele Primzahlzwillige, zusätzlich zu erschweren.
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klauslange,
Samstag, 9. September 2006, 16:57
weitere Primsummen
Für alle weiteren Pzs kleiner 100 habe ich jetzt mal zugehörigen Pz berechnet:
(29; 31) -> (19991;19993)
(41; 43) -> (888917;888919)
(59; 61) -> (68899991;68899993)
(71; 73) -> (899899991;899899993)
(29; 31) -> (19991;19993)
(41; 43) -> (888917;888919)
(59; 61) -> (68899991;68899993)
(71; 73) -> (899899991;899899993)
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wuerg,
Sonntag, 10. September 2006, 14:03
Jetzt müssen Sie nur noch sagen, wie Sie das gemacht haben und ob das die kleinste Möglichkeiten sind.
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klauslange,
Montag, 30. Oktober 2006, 11:39
4-Primtupel?
Nehmen wir mal die primen 4-Tupel
(11; 13; 17; 19) und (101; 103; 107; 109),
dann stellt sich für mich sogleich die Frage, ob es denn weiterer solcher 4-Tupel gibt, deren Elemente prim sind:
(10^n + 1; 10^n + 3; 10^n + 7; 10^n + 9)
Man kann auch noch fragen, ob da, wo nicht alle vier Elemente Primzahlen sind, doch zumindest eine Primzahl vorhanden ist - oder gar ein Primzwilling.
Für solche, in denen nicht mal nur eine Primzahl vorhanden ist, sollte man erwarten dürfen, dass zumindest eines der PrimFaktor der zusammengesetzten Zahlen in {11;13;17;19;101;103;107;109}
Mit diesem Fragenkomplex lässt sich eine konkrete Strukturanalyse der Primzahlmenge vornehmen.
Zum Beispiel fallen ungerade Zehnerexponenten für q(1) = 10^n + 1 heraus.
Denn jedes u = 10^(2n+1) + 1 ist ja stets durch 11 teilbar und kann daher keine Primzahl sein.
(11; 13; 17; 19) und (101; 103; 107; 109),
dann stellt sich für mich sogleich die Frage, ob es denn weiterer solcher 4-Tupel gibt, deren Elemente prim sind:
(10^n + 1; 10^n + 3; 10^n + 7; 10^n + 9)
Man kann auch noch fragen, ob da, wo nicht alle vier Elemente Primzahlen sind, doch zumindest eine Primzahl vorhanden ist - oder gar ein Primzwilling.
Für solche, in denen nicht mal nur eine Primzahl vorhanden ist, sollte man erwarten dürfen, dass zumindest eines der PrimFaktor der zusammengesetzten Zahlen in {11;13;17;19;101;103;107;109}
Mit diesem Fragenkomplex lässt sich eine konkrete Strukturanalyse der Primzahlmenge vornehmen.
Zum Beispiel fallen ungerade Zehnerexponenten für q(1) = 10^n + 1 heraus.
Denn jedes u = 10^(2n+1) + 1 ist ja stets durch 11 teilbar und kann daher keine Primzahl sein.
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wuerg,
Dienstag, 31. Oktober 2006, 19:49
Das erinnert mich an Ihren Aufsatz über Primzahlchemie, da sie zwei ungelöste Probleme (Goldbachvermutung, Anzahl der Primzahlzwillinge) zu einer nicht leichteren Frage verbanden, ob es unendlich viele Vielfache von 6 gäbe, die (nicht) Summe von den Mittenzahlen zweier Primzahlzwillinge sind.
Hier nun kombinieren Sie wieder zwei harte Nüsse, nämlich die Primzahlvierlinge und die verallgemeinerten Fermatzahlen zur Basis 10. Mehr als eine rechnergestützte Vermutung werden wohl selbst uns weit überlegene Außerirdische nicht haben. Und die lautet: Es gibt keine Primzahlvierlinge 10^n+1/3/7/9 für n>2, wahrscheinlich schon allein deshalb, weil es keine Primzahlen 10^n+1 gibt. Kandidaten wären allenfalls n=2^k.
Sie entschärfen deshalb Ihre Forderung, und es reicht Ihnen bereits eine einzige Primzahl unter den vieren 10^n+1/3/7/9. Aber auch dafür ist die Ausbeute wohl gering. Für zwei Treffer wird es kaum über diese Liste hinaus gehen:
Und abschließend noch zu Ihrer Frage, ob wenigstens einer der Faktoren 11, 13, 17, 19, 101, 103, 107 oder 109 vorkommt, wenn alle vier Zahlen 10^n+1/3/7/9 zusammengesetzt sind. Schon für n=12 erhält man die Primfaktorzerlegungen:
Hier nun kombinieren Sie wieder zwei harte Nüsse, nämlich die Primzahlvierlinge und die verallgemeinerten Fermatzahlen zur Basis 10. Mehr als eine rechnergestützte Vermutung werden wohl selbst uns weit überlegene Außerirdische nicht haben. Und die lautet: Es gibt keine Primzahlvierlinge 10^n+1/3/7/9 für n>2, wahrscheinlich schon allein deshalb, weil es keine Primzahlen 10^n+1 gibt. Kandidaten wären allenfalls n=2^k.
Sie entschärfen deshalb Ihre Forderung, und es reicht Ihnen bereits eine einzige Primzahl unter den vieren 10^n+1/3/7/9. Aber auch dafür ist die Ausbeute wohl gering. Für zwei Treffer wird es kaum über diese Liste hinaus gehen:
n=4: 10007 und 10009 sind prim n=9: 1000000007 und 1000000009 sind prim n=18: 10^18+3 und 10^18+9 sind prim n=56: 10^56+3 und 10^56+9 sind primAber beim Durchforsten von Zahlen fallen einem immer wieder Merkwürdigkeiten auf. So sind
10^11+3 und 10^101+3 10^17+3 und 10^107+3allesamt Primzahlen. Da sind sie wieder, 11, 17, 101 und 107, doch leider nicht 13, 19, 103 und 109. Und dann noch:
10^272+9 ist prim 10^273+9 ist zusammengesetzt ......+9 sind alle zusammengesetzt 10^2729+9 ist zusammengesetzt 10^2730+9 ist primEs klafft also eine Riesenlücke zwischen der Plichta-Konstanten 273 und ihrem Zehnfachen.
Und abschließend noch zu Ihrer Frage, ob wenigstens einer der Faktoren 11, 13, 17, 19, 101, 103, 107 oder 109 vorkommt, wenn alle vier Zahlen 10^n+1/3/7/9 zusammengesetzt sind. Schon für n=12 erhält man die Primfaktorzerlegungen:
1000000000001 = 73*137*99990001 1000000000003 = 61*14221*1152763 1000000000007 = 34519*28969553 1000000000009 = 29*66413*519217Bemerkenswert für 37-Fanatiker ist darin 73*137=10001.
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klauslange,
Mittwoch, 1. November 2006, 10:00
Beweis fast fertig
Schön wieder von Ihnen zu lesen, habe Ihre Kommentare schon schmerzlich vermisst.
Wie Sie ja sicher gesehen haben, habe ich jetzt noch zwei rein primzahlthematische Links in meine Liste aufgenommen, die gute Ideen aber auch sehr wirkungsvolle Tools liefern.
Ja, ich hatte bislang nur Zahlenmaterial bis n=9, kann das nun aber dadurch bis n=32 erweitern...
Danke für die Angaben zu n=12, habe ich mir fast gedacht, dass es da eine solch geartete Konstellation gibt.
Meine Strategie ist nun folgende:
Ich suche nach Teilermuster, so habe ich neben
10^(2n+1) + 1 = 0 (mod 11)
auch noch
10^(4n+2) + 1 = 0 (mod 101)
und
10^(6n+4) + 3 = 0 (mod 7)
per vollst. Induktion beweisen können.
Ich denke auf diese Weise auch sukzessive alle geraden Exponenten für das 4-Tupel ausschließen zu können.
Wie Sie ja sicher gesehen haben, habe ich jetzt noch zwei rein primzahlthematische Links in meine Liste aufgenommen, die gute Ideen aber auch sehr wirkungsvolle Tools liefern.
Ja, ich hatte bislang nur Zahlenmaterial bis n=9, kann das nun aber dadurch bis n=32 erweitern...
Danke für die Angaben zu n=12, habe ich mir fast gedacht, dass es da eine solch geartete Konstellation gibt.
Meine Strategie ist nun folgende:
Ich suche nach Teilermuster, so habe ich neben
10^(2n+1) + 1 = 0 (mod 11)
auch noch
10^(4n+2) + 1 = 0 (mod 101)
und
10^(6n+4) + 3 = 0 (mod 7)
per vollst. Induktion beweisen können.
Ich denke auf diese Weise auch sukzessive alle geraden Exponenten für das 4-Tupel ausschließen zu können.
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wuerg,
Mittwoch, 1. November 2006, 20:56
Ich war eine Woche verreist und hatte mein Notebook nur dabei, um den MP3-Player meiner Tochter aufzuladen. Sonst hätte ich schon eher etwas geschrieben. Doch zu den Zahlen:
Ich würde an Ihrer Stelle nicht mühsam Beweise suchen, weil dieses Gebiet der "border primes" (10^n±x) weiträumig abgegrast ist und zur Domäne derer wurde, die mit viel Rechenkraft große Zahlen faktorisieren oder riesige Primzahlen finden wollen.
Für die Zahlen 10^n+1 gilt das gleiche wie für 2^n+1: Sie können nur prim sein, wenn n eine Zweierpotenz ist. Unter diesen Basis-10-Fermatzahlen 10^(2^n)+1 aber scheint es keine einzige Primzahl zu geben. Lustig bleiben natürlich trotzdem die Zerlegungen vom Schlage
Sloane
Ich würde an Ihrer Stelle nicht mühsam Beweise suchen, weil dieses Gebiet der "border primes" (10^n±x) weiträumig abgegrast ist und zur Domäne derer wurde, die mit viel Rechenkraft große Zahlen faktorisieren oder riesige Primzahlen finden wollen.
Für die Zahlen 10^n+1 gilt das gleiche wie für 2^n+1: Sie können nur prim sein, wenn n eine Zweierpotenz ist. Unter diesen Basis-10-Fermatzahlen 10^(2^n)+1 aber scheint es keine einzige Primzahl zu geben. Lustig bleiben natürlich trotzdem die Zerlegungen vom Schlage
100000000000000000000001 = 11 * 9090909090909090909091 10000000000000000000001 = 101 * 99009900990099009901 1000000000000000000001 = 1001 * 999000999000999001 100000000000000000001 = 10001 * 9999000099990001Mit zahlreichen Einzelantworten auf die Frage, wann 10^n+x von einer Zahl m geteilt wird, kommt man wohl nicht sehr weit. Daß 10^(6n+3)+1 von 7, 11 und 13 geteilt wird, folgt aus 7*11*13=1001. Die 7 als Teiler von 10^(6n+4)+3 haben Sie bereits erwähnt. Für m=7,13,17 habe ich mir die Mühe gemacht, die Reste des normalen Divisionsverfahrens zur Berechnung von 1/m zu ermitteln:
n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ------------------------------------------------------ m=7: 1 3 2 6 4 5 1 ... m=13: 1 10 9 12 3 4 1 ... m=17: 1 10 15 14 4 6 9 5 16 7 2 3 13 11 8 12 1 ...Ein Wert x in Zeile m und Spalte n bedeutet, daß 10^n=x modulo m ist. Damit erhält man beispielsweise:
m=7, n=6k+5 mit x=5=2m-9: 7 teilt 106k+5+9 m=7, kein n mit x=0=m-7: 7 teilt kein 10k+7 m=13, n=6k+1 mit x=10=m-3: 13 teilt 106k+1+3 m=17, n=16k+1 mit x=10=m-7: 17 teilt 1016k+1+7Aber wie gesagt: Es bleiben immer viele Exponenten übrig. Und mir ist auch keine andere Idee bekannt, die Anzahl der 10^n+1/3/7/9 mit bestimmten Teilbarkeitseigenschaften zu bestimmen.
Sloane
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klauslange,
Mittwoch, 1. November 2006, 23:16
Weitere Teilereigenschaften
Weil es so viel Spaß macht, noch eine allgemeine Teilbarkeitseigenschaft:
10^(8n+4) + 1 = 0 (mod 73*137)
Mit dieser Eigenschaft und der schon erwähnten
10^(6n+4) + 3 = 0 (mod 7)
habe ich für die Exponenten auch alle geradzahligen Quadratzahlen als diese speziellen Prim-4-Tupel-Lieferanten ausschließen.
Natürlich können Sie sich vorstellen, dass es mich fasziniert, ausgerechnet {11;13;17;19} und {101;103;107;109} als einzige 4er-Tupel von Zehnerpotenzen prim zu erkennen, wodurch der Zahlenbereich markiert wird, der für die chemischen Betrachtungen so wichtig ist. Auch wenn mir sonst nichts weiter dazu einfällt.
Zu den Zahlen:
Mal sehen wie die Primzwillingsbildung (+7;+9) beeinflusst wird, gerade da, wo (+1;+3) systematisch ausgeschlossen werden kann...
10^(8n+4) + 1 = 0 (mod 73*137)
Mit dieser Eigenschaft und der schon erwähnten
10^(6n+4) + 3 = 0 (mod 7)
habe ich für die Exponenten auch alle geradzahligen Quadratzahlen als diese speziellen Prim-4-Tupel-Lieferanten ausschließen.
Natürlich können Sie sich vorstellen, dass es mich fasziniert, ausgerechnet {11;13;17;19} und {101;103;107;109} als einzige 4er-Tupel von Zehnerpotenzen prim zu erkennen, wodurch der Zahlenbereich markiert wird, der für die chemischen Betrachtungen so wichtig ist. Auch wenn mir sonst nichts weiter dazu einfällt.
Zu den Zahlen:
Mal sehen wie die Primzwillingsbildung (+7;+9) beeinflusst wird, gerade da, wo (+1;+3) systematisch ausgeschlossen werden kann...
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wuerg,
Donnerstag, 2. November 2006, 02:29
Habe ich etwas übersehen? [Ja, habe ich. Siehe Amerkung am Ende.] Denn 32 ist weder von der Form 8n+4 noch 6n+4. Sicherlich können Sie von den verbleibenden 10^(2^(2k+1))+1/3/7/9 einen weiteren Anteil ausschließen. Es würde mich aber wundern, wenn die Lücke ganz geschlossen werden könnte.
Wenn wider Erwarten eines Tages tatsächlich eine Primzahl der Form 10^n+1 gefunden werden sollte, dann ist zwar die Wahrscheinlichkeit sehr klein, daß auch die anderen drei 10^n+3/7/9 prim sind. Um sie aber schon jetzt durch eine Beziehung vom Typ 10^(kn+l)+3/7/9=0 modulo m ausschließen zu können, müßten sie durch ein solches m teilbar sein, obgleich sie wahrscheinlich keinen einzigen kleinen Faktor haben werden.
Wieder das Beispiel n=32: Gewiß ist 10^32+1 nicht prim. Um aber eine der drei Zahlen 10^32+3/7/9 mit Hilfe einer Beziehung 10^(kn+l)+3/7/9=0 modulo m als zusammengesetzt zu erkennen, ist m=19 oder höher erforderlich.
Anmerkung: Ich überlas, daß Sie von "geraden Quadratzahlen" und nicht von "geraden Zahlen" sprachen. Es bleiben also wie dargelegt n=8,32,128,512,2048,8192,... auszuschließen.
Wenn wider Erwarten eines Tages tatsächlich eine Primzahl der Form 10^n+1 gefunden werden sollte, dann ist zwar die Wahrscheinlichkeit sehr klein, daß auch die anderen drei 10^n+3/7/9 prim sind. Um sie aber schon jetzt durch eine Beziehung vom Typ 10^(kn+l)+3/7/9=0 modulo m ausschließen zu können, müßten sie durch ein solches m teilbar sein, obgleich sie wahrscheinlich keinen einzigen kleinen Faktor haben werden.
Wieder das Beispiel n=32: Gewiß ist 10^32+1 nicht prim. Um aber eine der drei Zahlen 10^32+3/7/9 mit Hilfe einer Beziehung 10^(kn+l)+3/7/9=0 modulo m als zusammengesetzt zu erkennen, ist m=19 oder höher erforderlich.
Anmerkung: Ich überlas, daß Sie von "geraden Quadratzahlen" und nicht von "geraden Zahlen" sprachen. Es bleiben also wie dargelegt n=8,32,128,512,2048,8192,... auszuschließen.
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klauslange,
Donnerstag, 2. November 2006, 09:28
16n + 8 ausgeschlossen
Habe gerade in der U-Bahn
10^(16n+8) +1 = 0 (mod 17) gefunden...
M. E. lässt sich für jede Zahl 2^m eine eigene Folge finden, wie diese neue, also etwa
10^(64x+32) {+1;+3} = 0 (mod y)
Wenn man das allgemein zeigen kann, dann hat man das Problem erledigt.
10^(16n+8) +1 = 0 (mod 17) gefunden...
M. E. lässt sich für jede Zahl 2^m eine eigene Folge finden, wie diese neue, also etwa
10^(64x+32) {+1;+3} = 0 (mod y)
Wenn man das allgemein zeigen kann, dann hat man das Problem erledigt.
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klauslange,
Donnerstag, 2. November 2006, 13:48
n = 18m + 14 für n=32;...
Habe gerade bei n=32 für 10^n +3 = 0 (mod 19) gesehen. Ferner auch für n=14 und sogar mit Rabin-Millern innerhalb von einer Sekunde für n=50.
Daraus schließe ich auf
10^(18m + 14) +3 = 0 (mod 19)
Werde ich noch nachrechnen...
Edit: Ja, es stimmt.
Wenn wir uns also nur auf 10^n + 1 konzentrieren, dann kommen wir wohl nicht ans Ziel, aber man kann ja auch die Partner +3; +7; +9 ausnutzen, um alle Zahlen für das 4-Tupel auszuschließen.
Meine Strategie allein auf 10n +1 zu setzen reicht nicht, da haben wir quasi die Fermatzahlen, das stimmt schon.
Daraus schließe ich auf
10^(18m + 14) +3 = 0 (mod 19)
Werde ich noch nachrechnen...
Edit: Ja, es stimmt.
Wenn wir uns also nur auf 10^n + 1 konzentrieren, dann kommen wir wohl nicht ans Ziel, aber man kann ja auch die Partner +3; +7; +9 ausnutzen, um alle Zahlen für das 4-Tupel auszuschließen.
Meine Strategie allein auf 10n +1 zu setzen reicht nicht, da haben wir quasi die Fermatzahlen, das stimmt schon.
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wuerg,
Donnerstag, 2. November 2006, 22:31
10^(16n+8) +1 = 0 (mod 17) gefunden...
Meinem vorletzten Beitrag entnehmen Sie in der Tabelle bei m=17 und n=8 den Wert x=16. Die Periodenlänge zu m=17 ist p=16. Somit folgt
10^(64x+32) {+1;+3} = 0 (mod y)
Selbstverständlich lassen sich für jede Zweierpotenz z=2^k Zahlen p(k) und y(k) finden, daß
10^(18m + 14) +3 = 0 (mod 19)
In meinem letzten Kommentar schrieb ich bereits, daß man für den Exponenten 32 mindestens auf modulo 19 hoch muß. Das habe ich mir natürlich nicht aus den Fingern gesogen. Vielmehr habe ich einfach den kleinsten Faktor der Zahlen10^32+x mit x=1,3,7,9 ermittelt. Und das war 19 für x=3. Da wir aus dem Koran wissen, daß 1/19 die maximale Periodenlänge 18 aufweist, ergibt sich 10^(18m+14)+3=0 modulo 19. Die 14 ist darin einfach 32-18.
Meinem vorletzten Beitrag entnehmen Sie in der Tabelle bei m=17 und n=8 den Wert x=16. Die Periodenlänge zu m=17 ist p=16. Somit folgt
10pk+n=x (mod m) also 1016k+8+1=0 (mod 17)für alle k. Ich hatte diesen Spezialfall nicht mehr ausgeführt, weil ja bereits bekannt ist, daß 10^k+1 zusammengesetzt ist, sofern k keine Zweierpotenz ist.
10^(64x+32) {+1;+3} = 0 (mod y)
Selbstverständlich lassen sich für jede Zweierpotenz z=2^k Zahlen p(k) und y(k) finden, daß
10p(k)x+z+3=0 (mod y(k))für alle x ist. Grundsätzlich ist es einfach: Man wählt für y(n) den kleinsten Primfaktor von 10^z+3, bestimmt die Periodenlänge p(n) der Zahl 1/y(n) und wählt x=0. Die Schwierigkeit besteht aber darin, eine solche Folge y(n) zu finden. Und es sieht nicht so aus, als wäre dies jemals oder in absehbarer Zeit möglich.
10^(18m + 14) +3 = 0 (mod 19)
In meinem letzten Kommentar schrieb ich bereits, daß man für den Exponenten 32 mindestens auf modulo 19 hoch muß. Das habe ich mir natürlich nicht aus den Fingern gesogen. Vielmehr habe ich einfach den kleinsten Faktor der Zahlen
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klauslange,
Freitag, 3. November 2006, 09:49
Koran und 19
Mal kurz nebenbei:
Sie erwähnen 1/19 im Zusammenhang mit dem Koran.
Ich habe eine deutsche Übersetzung des Korans gelesen, weiß aber nicht woher man aus dem Text die 19er Bedeutung hernimmt.
Zu Ihrem vorletztem Kommentar:
Sorry, Ihre Bemerkung zur 19 muss ich glatt übersehen haben...
Sie erwähnen 1/19 im Zusammenhang mit dem Koran.
Ich habe eine deutsche Übersetzung des Korans gelesen, weiß aber nicht woher man aus dem Text die 19er Bedeutung hernimmt.
Zu Ihrem vorletztem Kommentar:
Sorry, Ihre Bemerkung zur 19 muss ich glatt übersehen haben...
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wuerg,
Sonntag, 5. November 2006, 12:27
Ich glaube Peter Plichta gerne, daß er bei seinen Überlegungen, in denen der Zahl 19 ein herausragende Rolle zufiel, gar nichts von der 19 im Koran wußte. Und das Interesse der 19-Chemiker am 19-Islam scheint bei weitem nicht so ausgeprägt wie umgekehrt. Wieder ein Beleg dafür, daß es zwischen den alternativen Wissenschaftlern, Theologen und Theoretikern keine Solidarität gegen die herrschende Lehrmeinung gibt.
Majidi | Nur-Koran | Makowski
Majidi | Nur-Koran | Makowski
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klauslange,
Montag, 6. November 2006, 16:24
Das habe ich mir schon fast gedacht: Da wird ein einziges mal die 19 im Koran erwähnt, in Sure 74:30, und schon macht man daraus ein System. Natürlich ist mir diese einmalige Erwähung nicht haften geblieben. Würde mich wundern, wenn ich die 19 im Koran nicht beachtet hätte, so sie dort genauso frequentiert erwähnt worden wäre, wie zum Beispiel die Zahlen 7 oder 12 oder 40 in der Bibel. Die fallen wirklich auf.
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klauslange,
Montag, 6. November 2006, 16:32
Beweisansatz
So, nun arbeite ich - neben meiner vierten Arbeit zu den Würfelnetzen (was sagen sie eigentlich zu http://designale.blogger.de/stories/587200/ ?) - an einen Beweisansatz für das hier ausstehende Problem.
Eventuell kann man ja ausnutzen, dass jede Primzahl der Form 4n+1 eindeutig als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann.
Nun haben wir in
10^n +1
10^n +9
zwei Zahlen, die ja schon in der Zwei-Quadrate-Form vorliegen, wenn n gerade ist.
Sollten sie nun beide gleichzeitig für ein festes n prim sein, dann darf es nur diese eine Zwei - Quadrate - Form für jede geben.
Nun ist zu zeigen, dass es z.B. für 10^n +1 doch eine zweite Zwei-Quadrate-Drastellung gibt, wenn es für 10^n +1 nur eine gibt, wenn gibt n = 0 (mod 4).
Eventuell kann man ja ausnutzen, dass jede Primzahl der Form 4n+1 eindeutig als Summe zweier Quadrate geschrieben werden kann.
Nun haben wir in
10^n +1
10^n +9
zwei Zahlen, die ja schon in der Zwei-Quadrate-Form vorliegen, wenn n gerade ist.
Sollten sie nun beide gleichzeitig für ein festes n prim sein, dann darf es nur diese eine Zwei - Quadrate - Form für jede geben.
Nun ist zu zeigen, dass es z.B. für 10^n +1 doch eine zweite Zwei-Quadrate-Drastellung gibt, wenn es für 10^n +1 nur eine gibt, wenn gibt n = 0 (mod 4).
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wuerg,
Dienstag, 14. November 2006, 21:08
Gewiß kommt die 19 nur einmal in Vers 30 der Sure 74 im Koran vor. Der Folgevers hebt aber die Bedeutung. In ihm wird ausgedrückt, daß diese Zahl für den Gläubigen nicht wichtig ist und sie der Überzeugung der Heiden diene. Und so liegt es nahe, die 19 überall zu suchen, um daraus den Beweis für die Richtigkeit des Koran abzuleiten. Tatsächlich sind wirklich beeindruckende Beziehungen gefunden worden.
Unabhängig davon hat die Basmala 19 Buchstaben, der für einen Mondkalender wichtige metonische Zyklus umfaßt 19 Jahre, und nicht zufällig teilen die Bahai das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen. Der Koran hat 6*19=114 Suren, in denen 114 mal die Basmala vorkommt. In Sure 27 doppelt, in Sure 9 gar nicht. Für den Primzahlchemiker:
Unabhängig davon hat die Basmala 19 Buchstaben, der für einen Mondkalender wichtige metonische Zyklus umfaßt 19 Jahre, und nicht zufällig teilen die Bahai das Jahr in 19 Monate zu 19 Tagen. Der Koran hat 6*19=114 Suren, in denen 114 mal die Basmala vorkommt. In Sure 27 doppelt, in Sure 9 gar nicht. Für den Primzahlchemiker:
fehlende Elemente 43 und 61 Ausnahmesuren 9 und 27 Differenz 34 und 34 !Die 19 Suren von der 9. bis zur 27. entsprechen also den 19 Elementen von Technetium bis Promethium.
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klauslange,
Mittwoch, 15. November 2006, 14:58
Basmalah?
Die Basmala steht in meiner Übersetzung nicht, wohl weil sie nicht übersetzbar ist (???), was das ganze noch interessanter macht.
Ferner ist mir die Zahl 114 nicht aufgefallen.
Im Koran wird auch die sechs Tage Schöpfung erwähnt. Das ist symbolisch deswegen interessant, weil ja 114 = 19 x 6.
Es wären also sechs 19er Bereiche zu identifizieren.
Was es mit der Basmala auf sich hat, ist dann noch eine andere Frage.
Ich werde zu dem Symbolbereich also ein Koran-19-Link hinzufügen, um jeden die Möglichkeit des Verifizierens zu geben. Damit revidiere ich mein anfängliches skeptisches Urteil über die vernachlässigbare 19 im Koran, ohne diesen Tatbestand, wie auch die biblischen Symbolzahlen, irgendwie meine natural-mathematischen Untersuchungen damit in Verbindung zu bringen.
Doch schätze ich die arabischen Beiträge der Mathematik sehr und sehe die 19 im Koran als einen symbolischen Beitrag.
Ferner ist mir die Zahl 114 nicht aufgefallen.
Im Koran wird auch die sechs Tage Schöpfung erwähnt. Das ist symbolisch deswegen interessant, weil ja 114 = 19 x 6.
Es wären also sechs 19er Bereiche zu identifizieren.
Was es mit der Basmala auf sich hat, ist dann noch eine andere Frage.
Ich werde zu dem Symbolbereich also ein Koran-19-Link hinzufügen, um jeden die Möglichkeit des Verifizierens zu geben. Damit revidiere ich mein anfängliches skeptisches Urteil über die vernachlässigbare 19 im Koran, ohne diesen Tatbestand, wie auch die biblischen Symbolzahlen, irgendwie meine natural-mathematischen Untersuchungen damit in Verbindung zu bringen.
Doch schätze ich die arabischen Beiträge der Mathematik sehr und sehe die 19 im Koran als einen symbolischen Beitrag.
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wuerg,
Donnerstag, 16. November 2006, 20:59
In Ihrem neuen Favoriten-Link "Basmalah: Der Koran und die 19" ist eigentlich alles erklärt: Ihre Koran-Ausgabe enthält nur zwei Basmala, nämlich die mit positiven Versnummern. Und wie Sie sich denken können, sind Versnummern 0 geeignet wahlweise berücksichtigt zu werden oder auch nicht, was die Anzahl möglicher Kombinationen und Besonderheiten erhöht.
Trotzdem stimmen Sie hoffentlich mit mir überein, daß die Ansammlung von "Fakten" wirklich erstaunlich ist und von einem ungeheuren Fleiß zeugt, gleichwohl ich mich auf wenige überzeugende Beziehungen beschränkt hätte. Denn wie in der Primzahl-Chemie erweckt die Vielzahl den Eindruck, lange gesucht und wenig gefunden zu haben.
Zumindest bei den buchstabenbasierte Zahlen soll der Text angepaßt worden sein. Das ist weniger Betrug, sondern mehr Ausdruck eines unerschütterlichen Glaubens, der da sagt: Wenn immer nicht genau klar ist, was hier oder dort ursprünglich gestanden hat, dann gibt mir die Zahl 19 einen Anhaltspunkt.
Natürlich sehe ich das wie Sie alles nur symbolisch, als eine interessante Übung und nette Spielerei. Uns unterscheidet lediglich, daß Sie im Gegensatz zu mir einer analogen Vorgehensweise in der Primzahlchemie weit mehr als nur symbolische Bedeutung zumessen.
Trotzdem stimmen Sie hoffentlich mit mir überein, daß die Ansammlung von "Fakten" wirklich erstaunlich ist und von einem ungeheuren Fleiß zeugt, gleichwohl ich mich auf wenige überzeugende Beziehungen beschränkt hätte. Denn wie in der Primzahl-Chemie erweckt die Vielzahl den Eindruck, lange gesucht und wenig gefunden zu haben.
Zumindest bei den buchstabenbasierte Zahlen soll der Text angepaßt worden sein. Das ist weniger Betrug, sondern mehr Ausdruck eines unerschütterlichen Glaubens, der da sagt: Wenn immer nicht genau klar ist, was hier oder dort ursprünglich gestanden hat, dann gibt mir die Zahl 19 einen Anhaltspunkt.
Natürlich sehe ich das wie Sie alles nur symbolisch, als eine interessante Übung und nette Spielerei. Uns unterscheidet lediglich, daß Sie im Gegensatz zu mir einer analogen Vorgehensweise in der Primzahlchemie weit mehr als nur symbolische Bedeutung zumessen.
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klauslange,
Freitag, 17. November 2006, 19:19
Nun, in der Bibel oder im Koran kann man ja die Verhältnisse so trimmen, um eben eine Zahlenbotschaft einzubauen.
Hingegen sehe ich eben zwei instabile Elemente inmitten von stabilen, mit der die chem. Eigenschaft bestimmenden Ordnungszahl 43 und 61 dann nicht mehr als Spielerei, wenn man solche Signalzahlen dann zum Beispiel in der DNS angelegt findet.
Wie gesagt, das ganze ist ja in der Natur materiell gesetzt, nicht durch Menschen getrimmt.
Und ja, das ganze kann ein ungewöhnlicher Zufall sein - ich gibs ja zu - doch für mich leitet sich aus solchen Auffälligkeiten zunächst ein Arbeitsauftrag ab, sich diese Struktur genauer zu betrachten.
Zum 4Tupel Beweis:
Da bin ich auf interessante Strukturen gestossen, die zumindest einen weiteren Artikel auf dem Matheplaneten nach sich ziehen werden, vielleicht sogar mit einem Beweis.
Ich kann ja mal die konkretisierte Beweisidee skizzieren, wenn ich mehr Zeit hab.
Hingegen sehe ich eben zwei instabile Elemente inmitten von stabilen, mit der die chem. Eigenschaft bestimmenden Ordnungszahl 43 und 61 dann nicht mehr als Spielerei, wenn man solche Signalzahlen dann zum Beispiel in der DNS angelegt findet.
Wie gesagt, das ganze ist ja in der Natur materiell gesetzt, nicht durch Menschen getrimmt.
Und ja, das ganze kann ein ungewöhnlicher Zufall sein - ich gibs ja zu - doch für mich leitet sich aus solchen Auffälligkeiten zunächst ein Arbeitsauftrag ab, sich diese Struktur genauer zu betrachten.
Zum 4Tupel Beweis:
Da bin ich auf interessante Strukturen gestossen, die zumindest einen weiteren Artikel auf dem Matheplaneten nach sich ziehen werden, vielleicht sogar mit einem Beweis.
Ich kann ja mal die konkretisierte Beweisidee skizzieren, wenn ich mehr Zeit hab.
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wuerg,
Freitag, 17. November 2006, 20:40
Außen vor lassen müssen wir natürlich Besonderheiten, die aus einem großen Vorrat schöpfen, wie zum Beispiel den Bibelcode. Nicht auf ewige Wahrheiten führen auch eigens von Menschen zur Verwunderung konstruierte Texte. Wenn ich die Vorliebe der Griechen für Dreieckszahlen und der Araber für die 19 abziehe, gehe ich bei Bibel und Koran nicht davon aus. Deshalb wären sie desto mehr ein Zeichen Gottes, je unwahrscheinlicher die Besonderheiten als bloße Zufälle sind. Alles steht und fällt mit der Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeiten, über die man sich ewig streiten kann, weil vieles nicht zu beziffern ist. Zumeist ist nicht klar, aus welchem Vorrat geschöpft wird. Und eine Abschätzung der vielen unerwähnten Behauptungen ist auch kaum möglich. So endet es wie in der Parapsychologie: Wo nicht explizit gefälscht wurde, wandern die schlechten Ergebnisse in den Mülleiner und die guten an die Öffentlichkeit.
Was den Beweis zu 10/100+1/3/7/5 angeht, so habe ich wenig Hoffnung. Ich bezeichne wie folgt:
Was den Beweis zu 10/100+1/3/7/5 angeht, so habe ich wenig Hoffnung. Ich bezeichne wie folgt:
F(n) = 102n+1
G(n) = 102n+9
A(n) = |{(x,y)∈N2|x2+y2=F(n)∨x2+y2=G(n)}|
Und wenn ich es recht verstanden habe, wollen Sie A(n)>2 für n>1 beweisen. Gelänge dies, hätte F(n) oder G(n) neben der trivialen Zerlegung in zwei Quadrate eine weitere und wäre als Zahl der Form 4k+1 nicht prim. Da abgesehen von den F(n) alle 10^m+1 bereits als zusammengesetzt bekannt sind, gäbe es außer 11,13,17,19 und 101,103,107,109 keine Primzahlvierlinge direkt hinter einer Zehnerpotenz. Das aber ist nur dann ein guter Beweisansatz, wenn ein ebensolcher für den Nachweis der Behauptung A(n)>2 in Sicht wäre. Ich dagegen glaube, dies alles fällt in die bei naiven Mathematik-Kritikern so beliebte wie mächtige Kategorie der richtigen, aber leider nicht beweisbaren Aussagen.... link
klauslange,
Montag, 20. November 2006, 18:06
Beweisidee indirekt anwenden
So direkt wollte ich das natürlich nicht angreifen.
Meine Idee basiert auf die Struktur
A = (10^2m +1)^2 - (10^2m +3) - (10^2m +7) - (10^2m +9)
bzw.
B = (10^2m +9)^2 - (10^2m +3) - (10^2m +7) - (10^2m +1)
Nun muss man zeigen, dass sich A und B nur als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt, wenn alle vier Zahlen prim sind. Sind sie es nicht, dann gibts auch keine solche ZweiQuadrateForm(en).
Tatsächlich haben diese Zahlen A, B ab m=3 keine solche Darstellung. Gilt das stets, dann ist der Beweis erbracht.
Meine Idee basiert auf die Struktur
A = (10^2m +1)^2 - (10^2m +3) - (10^2m +7) - (10^2m +9)
bzw.
B = (10^2m +9)^2 - (10^2m +3) - (10^2m +7) - (10^2m +1)
Nun muss man zeigen, dass sich A und B nur als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt, wenn alle vier Zahlen prim sind. Sind sie es nicht, dann gibts auch keine solche ZweiQuadrateForm(en).
Tatsächlich haben diese Zahlen A, B ab m=3 keine solche Darstellung. Gilt das stets, dann ist der Beweis erbracht.
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wuerg,
Dienstag, 21. November 2006, 15:38
Ich muß wohl einfach Ihren Beweis abwarten, denn die Idee habe ich nicht verstanden. Präzisiere ich "sich A und B nur als Summe von zwei Quadraten darstellen lässt, wenn alle vier Zahlen prim sind" zu
QA und QB nur dann, wenn P1 und P3 und P7 und P9worin Qx für "x ist Summe zweier Quadrate" und Pi für "100^m+i ist prim" steht, dann ist dies ist gleichbedeutend mit
¬P1 ∨ ¬P3 ∨ ¬P7 ∨ ¬P9 → ¬QA ∨ ¬QBEine solche Aussage nützt nichts, weil die Prämisse ja zu beweisen ist. Ich nehme deshalb an, Sie meinten den Schluß umgekehrt von rechts nach links. Dann aber frage ich mich, wie Sie einerseits die Implikation und andererseits die sodann rechts stehende Prämisse beweisen wollen?
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klauslange,
Mittwoch, 27. Dezember 2006, 14:03
Primzahlen, Zwei-Quadrate-Summen und 4-Tupel
Nun habe ich auf matheplanet.com einen Artikel publiziert, der die hier erörterten Gedanken noch einmal zusammenfassend vorstellt:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1045&mode=&order=0
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1045&mode=&order=0
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wuerg,
Donnerstag, 28. Dezember 2006, 23:53
Ich habe Ihre Zusammenfassung gelesen. Sie schreiben, daß abgesehen von 11 und 101 die übrigen 10^n+1 bis zu n=64 als zusammengesetzt bekannt sind. Meines Wissens ist dies sogar für alle n unterhalb von 2^23 der Fall.
In der Nomenklatur meines vorangehenden Kommentares bleibend, wollen Sie über Beziehungen wie
In der Nomenklatur meines vorangehenden Kommentares bleibend, wollen Sie über Beziehungen wie
¬QA ∨ ¬QB ... → ¬P1 ∨ ¬P3 ∨ ¬P7 ∨ ¬P9zum Ergebnis kommen. Es ist zwar schön zu sehen, wie Sie von A und B (im Artikel f und g) die Faktoren 18 und 10 abspalten, um zu zeigen, daß sie nicht Summe zweier Quadrate (¬QA,¬QB) sein können. Doch sagen Sie es selbst: Diese Prämisse ist zu schwach.
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klauslange,
Freitag, 29. Dezember 2006, 11:44
Strategiepapier verweist auf h
Ja, g und f sind zu schwach, aber nicht die eingeschlagene Strategie, wie ich anhand von h gezeigt habe. Hier haben wir h = 1 (mod 4), so dass wir nicht nur durch einen ungeraden Exponenten eines Faktors 4k+3 bestimmt sind, sondern letztlich auf das Vorhandensein von mind. zwei Faktoren 4l+1 abzielt und auf die Fragen: Wenn es stets mind. diese zwei Faktoren gibt, warum? Hat das was mit der Wahl des 4-Tupels zu tun? Was?
H1 führt nur in die Ideenwelt ein. Ich denke V2 zeigt aber den richtigen Weg. Nachdem ich die Fluktuationen der Würfeltexturen untersucht habe, werde ich mich gezielt an der Behandlung von V2 ransetzen.
H1 führt nur in die Ideenwelt ein. Ich denke V2 zeigt aber den richtigen Weg. Nachdem ich die Fluktuationen der Würfeltexturen untersucht habe, werde ich mich gezielt an der Behandlung von V2 ransetzen.
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wuerg,
Freitag, 29. Dezember 2006, 17:51
Also zu h: Es ist interessant, wie Sie eine Funktion
h(x+1)/9 zusammengesetzt ist für alle Zehnerpotenzen x, außer der ersten, zweiten, vierten und dreizehnten. Es würde mich nicht wundern, wenn auch hier gilt: Alle großen h(x+1)/9 sind zusammengesetzt, doch einen Beweis dafür gibt es nicht.
Und wenn es ihn gäbe, und sei es nur für die von Ihnen angeführten einfach geraden Exponenten 6,10,14,..., wie kann dann jeweils eine der Zahlen x+1, x+3, x+7 oder x+9 als zusammengesetzt nachwiesen werden. Es würde zwar ausreichen, zu den Zahlen
h(x+1) = x2 + (2a)x + (a2+b2) = (x+a)2 + b2aus x+1, x+3, x+7 und x+9 bilden, hier mit a=5 und b=6. Doch wie geht es weiter? Ich gehe davon aus, daß
Und wenn es ihn gäbe, und sei es nur für die von Ihnen angeführten einfach geraden Exponenten 6,10,14,..., wie kann dann jeweils eine der Zahlen x+1, x+3, x+7 oder x+9 als zusammengesetzt nachwiesen werden. Es würde zwar ausreichen, zu den Zahlen
102n+9 = [102(n-1)]2 + 32eine weitere Zerlegung in zwei Quadrate zu finden. Doch wie soll das geschehen? Ich werde einfach weiterhin abwarten müssen.
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