deSignale

Nun ist es mir gelungen für alle Polyominos darstellende Gleichungen zu finden. Speziell für Hexominos sind diese Gleichungen sehr interessant und stellen auch neue Verbindungen zur Zahlentheorie her. Ich möchte nicht zuviel verraten, da ich die neuen Ergebnisse nicht nur in arxiv, sondern zuerst in einem Mathejournal veröffentlichen will.

Insbesondere für Würfelnetze sind die Gleichungen ein-eindeutig zum gehörigen Würfelnetz und kategorisieren die übrigen Hexominos. Die Nicht-Würfelnetze werden so auch noch einmal in zwei große Mengen aufgeteilt.

Während ich zunächst von einer physikalischen Nutzung der neuen Gleichungen absehe, kann ich versprechen, dass die innermathematischen Zusammenhänge sehr weitreichend sind...

James Maynard hat nun seine Abhandlung veröffentlicht, in der er mit neuen Methoden die Lücke von Primzahlen auf 600 schrumpft (welche unendlich oft vorkommt).

Wie ich schon vor einigen Monaten schrieb, konnte das Polymath8-Team um Terence Tao nicht unter 1000 kommen, was mit ihrem bisherige Rekord von unter 4700 auch belegt wurde. Eine Kombination von Maynards und Polymath8 könnte vielleicht noch einmal die 600 unterschreiten, aber das ist nicht sicher.

Einen Überlblicksartikel zu den aktuellen Ergebnissen habe ich hier gefunden.

Aufgrund der dort gemachten Äußerungen, schätze ich , dass bis Ende 2014 die Primzahllücke nur noch zweistellig sein wird...

Unabhängig vom Polymath8 Projekt von Tao et al. hat nun im Alleingang James Maynard den Abstand unendlich vieler Primzahlen auf 700 gedrückt!

Er benutzte eine neue Art von Berechnungen, die die Polymath8-Gruppe nicht verwendete.

Dazu ein Blog-Eintrag von Kowalski, der selbst im Polymath8 Projekt mitmacht: hier.

Neue Kalkulation mit den von Tao et. al. gelieferten Randbedingungen bringt mich zu einem

k_0 = 790

und daraus resultierend, wenn ich auf die zusätzlichen Feinjustierungen verzichte und daher ohne Fragezeichen, auf ein

H = 6712 - 82*12 = 5728

Während Tao et. al. in ihrem öffentlichen Polymath-Projekt weiter darum kämpfen, die 10000er Marke zu unterbieten - die bisherigen Ergebnisse, die drunter liegen, tragen bislang alle ein Fragezeichen (und damit steht bislang 'mein' Rekord, der natürlich dort erarbeitete Werte nutzt), weil sie an noch nicht überprüfte Bedingungen geknüpft sind oder selbst noch einer Bestätigung harren -, hat eine andere Gruppe, die sich eher um die grundsätzlichen strukturellen Aspekte von Zhangs Arbeit kümmert, wohl einen Durchbruch geschafft.

Kowalski et. al. meinen, jene Methoden von Zhang, die selbst schon Neuerungen waren und mit denen erstmalig eine endliche Schranke für den unendlich vorkommenden Abstand zweier Primzahlen angegeben werden konnte, ersetzen zu können und so entscheidende Fortschritte zu reklamieren.

Insbesondere geht es um die von Zahng benutzen Ramanujan Summen und den Weyl-Abschätzungen. Beide Neuerungen werden ersetzt, so dass bislang prinzipielle Barrieren überwunden werden können.

Ich bin auf die Veröffentlichung gespannt (die ich, wie die Arbeit von Zhang und Tao's Ausführungen, natürlich nicht im Detail verstehen kann, nur strukturell die Idee - bestenfalls).

Zur Vorankündigung auf Kowalskis Blog gehts hier. Mit einem solchen Durchbruch würde man zwar noch nicht die Primzahlzwillings-Vermutung beweisen können. Aber ich denke schon, dass man auf zweistellige Abstände käme.

Bleibt man bei Zhangs Methoden, dann kommt man m.E. nicht unter 1000.

So, ich habe mal unter Verwendung der durch Tao et. al. herausgefundenen Werte für /varpi/ und /delta/ selbst gerechnet, um eine kleine Primzahllücke zu ermittelt, und komme nun auf eine Primlücke

H = 10818

für

k_0 = 1268.

Das liegt etwas unterhalb des bislang aktuell aufgeführten Rekords von H = 12006 in der Tabelle mit letztem Eintrag vom 23.06.2013.

Habe nun eine Abhandlung über den Zusammenhang von Primzahlen und sporadische Gruppen fertiggestellt.

Da das ePrint Archiv vixra.org auch alternative Theorien unterstützt, die abseits des Mainstreams sein können, bediene ich mich bei der Veröffentlichung dieser Plattform, obwohl meine Abhandlung rein mathematischer Natur ist.

Doch spätere Arbeiten zu Theorie von Burkhard Heim und der Urwort-Theorie von Michael König werden auf die Ergebnisse dieser Abhandlung zurückgreifen, so dass ich gleich alles unter vixra.org stelle.

In meiner Abhandlung geht es zunächst um neue Eigenschaften der sogenannten Monstergruppe, deren Primteiler ihrer Ordnungszahl die sogenannten supersingulären Primzahlen bilden.

In der Tat konnte ich zeigen, dass die Monstergruppe und ihre supersingulären Primzahlen in ganz anderer Hinsicht etwas besonderes sind, wenn man sie mit den weiteren sporadischen Gruppen und ihrer Ordnungszahlen mit den zugehörigen Primteilern vergleicht.

Ferner konnte ich zeigen, dass alle sporadischen Gruppen eine enge Beziehung zu Primzahlen haben, enger als vergleichbare Primzahlenmengen, die nicht nur aus den Primteilern der Ordnungszahlen dieser Gruppen bestehen.

Zur Abhandlung: Strong Relationship Between Prime Numbers and Sporadic Groups

Terence Tao und andere - gerade auch Computerexperten - kämpfen weiter um die Verkleinerung der Primzahllücken auf Basis der Arbeit von Yitang Zhang.

Bislang ist man (von 70 Millionen) auf

H < 2,5 * 10^5

angekommen.

Was sehr schön ist, aber doch noch sehr weit von dem eigentlichen Ziel

H = 2

entfernt ist.

Und ich bleibe dabei, dass man mit den Sieb-Methoden alleine, die in Zhangs Arbeit verbessert wurden, nicht bis auf 2 runter gelangen kann.

Ohne eine ganz neue Idee wird es - wie ich schon sagte - bestenfalls bis in einen Bereich von

999 < H < 10000

gehen.

Wenn man die eigentliche Primzahlzwillingsvermutung beweisen will, also

H = p - q = 2,

dann sind die Zweierpotenzen wichtig, und da kommt man selbst mit der noch unbewiesenen Elliot-Halberstam-Vermutung nur bis runter auf

2^4 = 16,

was schon sehr bemerkenswert ist, wie alles was kleiner als 2^10 ist.

Dennoch: Es ist spannend den Argumenten - zumindest strukturell - zu folgen, die die Experten von sich geben.

Eine Liste der besten Ergebnisse und auch für weitere Links findet sich hier.

Terence Tao und einige andere diskutieren nun in einem Online-Seminar Wege, wie man den Beweis von Yitang Zhang über Primzahlenlücken verbessern kann, damit die Lücke von Primzahlen p,q

p - q < 7 * 10^7

für unendlich viele p,q kleiner wird.

Dabei haben sie schon einige Fortschritte zu verzeichnen. Immerhin konnten sie diese Lücke auf

p - q < 4,9 * 10^6

um immerhin mehr als eine Zehnerpotenz herunterschrauben.

Nachdem ich nun gesehen habe, wo sie die Stellschrauben ansetzen, habe auch ich mich eines Kommentars nicht enthalten können und darauf hingewiesen, dass mit den von Zhang benutzten Methoden (gerade bei den Werten w und k_0) eine Verkleinerung unter

p - q < 10^3

nicht zu erreichen ist. Da muss man m. E. schon andere Geschütze auffahren.

Zum - laufenden - Online-lese/schreibe-Seminar von Tao geht es hier.

Wirklich spannend!

Nun ist es offiziell: Yitang Zhanks Beweis über unendlich viele Primzahlenpaare, deren Abstand kleiner als 70 Millionen ist, ist in den Annals of Mathematics akzeptiert: hier.