deSignale

Noch eine Neuigkeit:

Es konnte bewiesen werden, dass es unendlich viele Primzahlenpaare p und q gibt,

mit p - q < 7*10^7

70 Million ist zwar noch eine recht große Zahl, und noch einiges entfernt von p - q = 2, aber es ist ein echter Durchbruch, der auf der Grundlage einer anderen Arbeit von Goldston aus dem Jahre 2005 fußt. Damals sorgte auch schon diese Arbeit für Aufsehen unter Zahlentheoretikern.

Yitang Zhang hat nun erstmals eine unabhängige Obergrenze von Primzahllücken bewiesen. Seine Abhandlung wurde für die Annals of Mathematics angenommen, wie New Scientist schreibt.

Nun wurde endlich die ternäre Goldbachvermutung bewiesen. Selbstverständlich muss der Beweis noch überprüft werden, aber die früheren Abhandlungen von Helfgott machen optimistisch. Sein Beweis hier.

Als Ende letzten Jahres ein Fehler in der Beweiskette zur abc Vermutung von Mochizuki gefunden wurde, versprach dieser in nicht allzu ferner Zukunft dazu eine Überarbeitung zu geben. Er hat Wort gehalten: hier, hier und hier.

Ein sehr starkes Online-Programm zum Testen einer natürlichen Zahl auf Mitlgiedschaft in der Primzahlmenge, ist mir bei meinen aktuellen Arbeiten zu Primzahlenzusammenhänge aufgefallen: hier.

Ich finde ihn stärker als den Online Rabin-Miller-Primzahltest in meiner Linkliste. Dennoch werde ich diese Seite in der Linkliste belassen und die neue Seite hinzufügen. Übrigens: Es finden sich dort noch viele weitere Programme, die sehr hilfreich sind, auch jenseits der Primzahlforschung.

Wie vor einiger Zeit versprochen, ein kleiner Einblick in meinen aktuellen Primzahlarbeiten:

Wenn man fortlaufend von 1 an die natürlichen Zahlen bis zu einem gegebenen n aufsummiert, dann erhält man die sogenannten Dreieckszahlen:

1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
usw.

Wie man leicht einsieht, sind alle so gebildeten Summen größer 3 stets zusammengesetzt, können also keine Primzahlen sein.

Gut, nimmt man stattdessen ausschließlich ungerade Zahlen, dann erhält man Quadratzahlen, die größer als 1 nunmal auch zusammengestzt sind:

1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
usw.

Was aber, wenn man ausschleißlich Primzahlen fortlaufend aufsummiert? Dann erhält man auch als Summe immer wieder Primzahlen:

2=2
2+3=5
2+3+5=10
2+3+5+7=17
2+3+5+7+11=28
2+3+5+7+11+13=41
usw.

Ich kenne keinen Beweis, der klärt, ob durch das Aufsummieren fortlaufender Primzahlen von 2 an unendlich viele Primzahlen gebildet werden. Aber wenden wir uns einer anderen Frage zu:

Was fällt auf?

Von den geradzahligen Summen kann man viele durch die Dreieckszahlen aussortieren, denn es ist

2+3+5=10=1+2+3+4

oder auch

2+3+5+7+11=28=1+2+3+4+5+6+7

usw.

Ferner lassen sich auch primzahlige Summen bilden, wenn man die Quadratzahlensummen hernimmt und sie mit der Primzahl 2 addiert, so zum Beispiel

1+2+3+5=11
1+2+3+5+7+9+11+13+15+17=83
usw.

Es kommt also zu der bislang unbewiesenen Frage, ob es unendlich viele Primzahlen der Form n^2 + 2 gibt.

Man kann nun alle diese Reihenbildungen miteinander kombinieren und erhält interessante Strukturen, die zu neuen interessanten additiven Eigenschaften von Primzahlen führen und weit mehr...

Zum Jahresschluss darf ich mitteilen, dass ich endlich mein lang gesuchtes additives Primzahlkriterium gefunden habe. Vor einiger Zeit hatte ich ja gesagt, dass ich an einer neuen Primzahlarbeit schreibe. Im Zuge der Analysen hat sich nun ein Kriterium gefunden, dass auf additiver Ebene einen Unterschied von Primzahlen zu allen anderen natürlichen Zahlen macht.

Natürlich ist dieses Kriterium sehr hilfreich,der lang gesuchte Hebel, um das Primzahlzwillingsproblem - oder allgemeiner das Problem von Primzahllücken der Form 2^n - anzugehen.

Ich werde später mehr dazu berichten...

Zur Klärung grundlegender Verständnisfragen bei der Begutachtung seines abc Beweises, wird Mochizuki im Dezember einen Vortrag mit anschließender Diskussion halten. Dazu hat er einige Stichpunkte verfasst, damit man sich auf seinen Vortrag vorbereiten kann. Die Universität von Kyoto parkt dieses neue Dokument hier.

Dem Vernehmen nach, kündigt Mochizuki für März dann eine neue Abhandlung an, die ausstehende Fragen in dem Beweis klären soll...

In der Diskussion um seinen Beweis der abc - Vermutung nimmt Mochizuki nun Stellung: Er anerkennt seinen Fehler in Theorem 1.10 von Abhandlung IV, zeigt aber auch, wo die eigentliche Ursache des Fehlers liegt und möchte in nächster Zeit eine korrekte Version der betreffenden Abschätzung liefern.

In seinen Worten: COMMENTS ON [IUTCHIV], THEOREM 1.10.

Link für Updates: hier!

Im Beweis der abc Vermutung (dazu meinen Beitrag hier) scheint es einen Fehler zu geben. Wie mir mitgeteilt wurde, ist die Abschätzung in Theorem 1.10 der eigentlichen Beweis-Abhandlung IV viel zu streng, so dass sich für diese Abschätzung eine Reihe von Gegenbeispielen ergeben. Sollte das Zutreffen, dann wäre der Beweis in Gefahr.

Ich möchte aber darauf hinweisen, dass die Existenz von Gegenbeispielen nicht in jedem Fall schädlich ist, sondern stets darauf zu achten ist, warauf sich eine Abschätzung genau bezieht. Ausnahmen können also außerhalb des Bereichs liegen, der betrachtet wird.

Theorem 1.10 scheint aber eher generellen Charakter zu haben. Aber ich muss zugeben, dass ich nicht tief genug drin stecke, zumal ich mit meiner eigenen Primzahlforschung beschäftigt bin.

Eine Sache noch: Zwar stellt Mochizuki in seinen Arbeiten wirklich neue Konzepte und Instrumentarien vor, für den Beweis der abc Vermutung an sich, sind diese aber nicht notwendig, wie oft gemeldet wurde, und ich auch erst einmal so abkupferte. Man kommt also in weiten Strecken mit der bereits bekannten Mathematik aus, um den Beweis zu prüfen...

Mit der Veröffentlichung einer Serie von Abhandlungen hat Shin Mochizuki den Beweis der abc-Vermutung angemeldet. Zur abc-Vermutung zum Wiki-Eintrag. Man sieht also die Bedeutung dieser Vermutung. Entsprechend sensationell wäre der Beweis. Doch die Bedeutung geht weit über jene der diophantischen Analysis - weswegen ich diesen Artikel auch unter 'Primzahlen' kategorisiere -. Die abc-Vermutung leistet einen sehr wichtigen Beitrag zu den L-Reihen, die eine Art der Verallgemeinerung der riemannschen Zeta-Funktion darstellen. Mit der einer entsprechend verallgemeinerten abc-Vermutung lässt sich eine Aussage zur Nichtexistenz bestimmter Nullstellen machen, was wiederum sehr wichtig ist.

Für Experten - zu denen ich nicht gehöre - hier eine interessante Blog-Diskussion dazu.

Dieser Beweis benutzt ganz neue mathematische Objekte der sogenannten Inter-unversal Geometry, die Mochizuki entwickelt hat, und wäre damit 'nur' ein Türöffner ganz neuer mathematischer Entwicklungen...