deSignale

Wie vor einiger Zeit versprochen, ein kleiner Einblick in meinen aktuellen Primzahlarbeiten:

Wenn man fortlaufend von 1 an die natürlichen Zahlen bis zu einem gegebenen n aufsummiert, dann erhält man die sogenannten Dreieckszahlen:

1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
usw.

Wie man leicht einsieht, sind alle so gebildeten Summen größer 3 stets zusammengesetzt, können also keine Primzahlen sein.

Gut, nimmt man stattdessen ausschließlich ungerade Zahlen, dann erhält man Quadratzahlen, die größer als 1 nunmal auch zusammengestzt sind:

1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
usw.

Was aber, wenn man ausschleißlich Primzahlen fortlaufend aufsummiert? Dann erhält man auch als Summe immer wieder Primzahlen:

2=2
2+3=5
2+3+5=10
2+3+5+7=17
2+3+5+7+11=28
2+3+5+7+11+13=41
usw.

Ich kenne keinen Beweis, der klärt, ob durch das Aufsummieren fortlaufender Primzahlen von 2 an unendlich viele Primzahlen gebildet werden. Aber wenden wir uns einer anderen Frage zu:

Was fällt auf?

Von den geradzahligen Summen kann man viele durch die Dreieckszahlen aussortieren, denn es ist

2+3+5=10=1+2+3+4

oder auch

2+3+5+7+11=28=1+2+3+4+5+6+7

usw.

Ferner lassen sich auch primzahlige Summen bilden, wenn man die Quadratzahlensummen hernimmt und sie mit der Primzahl 2 addiert, so zum Beispiel

1+2+3+5=11
1+2+3+5+7+9+11+13+15+17=83
usw.

Es kommt also zu der bislang unbewiesenen Frage, ob es unendlich viele Primzahlen der Form n^2 + 2 gibt.

Man kann nun alle diese Reihenbildungen miteinander kombinieren und erhält interessante Strukturen, die zu neuen interessanten additiven Eigenschaften von Primzahlen führen und weit mehr...