deSignale

Während anderer Berechnungen ist mir eine Idee gekommen:

Betrachten wir das Bildungsgesetz der Collatz-Folge (siehe hier).

Dann können wir dieses Bildungsgesetz modifizieren, in der Art:

Sei die Startzahl stets eine ungerade Zahl, die zusammengesetzt, also keine Primzahl ist.

Werden dann alle Primzahlen durch die Collatz-Folge generiert, wenn die Folge bei der zuerst erreichten Primzahl stoppt?

Wenn die Collatz-Vermutung richtig ist, dann haben wir stets spätestens bei der 2 einen Stopp.

Die 2 wird mit der Startzahl 1 erreicht: 1-4-2

Die 7 mit der nächstmöglichen Startzahl 9: 9-28-14-7

Aber was ist mit der 3 und der 5?

Schauen wir mal die nächstmöglichen Startzahlen an und stoppen stets bei der zuerst erreichten Primzahl, dann haben wir:

15 → 46 → 23
21 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2
25 → 76 → 38 → 19
27 → 82 → 41
33 → 100 → 50 → 25 → 76 → 38 → 19
35 → 106 → 53
39 → 118 → 59
45 → 136 → 68 → 34 → 17
49 → 148 → 74 → 37
51 → 154 → 77 → 232 → 116 → 58 → 29 → 88 → 44 → 22 → 11
55 → 166 → 83
57 → 172 → 86 → 43
63 → 190 → 95 → 286 → 143 → 430 → 215 → 646 → 323 → 970 → 485 → 1456 → 728 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137
65 → 196 → 98 → 49 → 148 → 74 → 37
69 → 208 → 104 → 52 → 26 → 13
75 → 226 → 113
77 → 232 → 116 → 58 → 29
81 → 244 → 122 → 61
85 → 256 → 128 → 64 → 32 → 16 → 8 → 4 → 2
87 → 262 → 131
91 → 274 → 137
93 → 280 → 140 → 70 → 35 → 106 → 53
95 → 286 → 143 → 430 → 215 → 646 → 323 → 970 → 485 → 1456 → 728 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137
99 → 298 → 149
105 → 316 → 158 → 79

So, ich denke das reicht, um einen kleinen Einblick zu geben.
Generiert wurden auf diese Weise:
2;7,11,13,17,19,23,29;37,41,43;53,59,61 usw.

Das ist schon ziemlich dicht, aber man erkennt auch Lücken.

Können wirklich alle Lücken bis auf die Zahl 3 auf diese Weise geschlossen werden?

Die 3 ist als Stopp-Zahl unter den modifizierten Bedingungen natürlich nicht möglich!

(Kann sich jeder selbst ausknobeln.)

Mit gleicher Methodik findet man schnell eine Zahl für den Stopp bei der 5:

213 → 640 → 320 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5