Freitag, 24. August 2012
Einstein und Pythagoras
klauslange,16:11h
Vor einiger Zeit habe ich ja zwei interessante Vorträge zu Pythagoras und Einstein vorgestellt, hier und hier. Heute möchte ich nun auflösen, worauf ich hinaus will:
Allen bekannt ist ja die Energie-Masse-Äquivalenz-Formel von Einstein
e = mc^2
Doch diese populäre Form verbirgt mehr, als sie zeigt, denn sie gilt nur für Ruhemassen, also wenn sich die Teilchen nicht bewegen. Das ist aber die Ausnahme und nicht die Regel.
Allgemein gilt daher der Ausdruck
e = mc^2 * (1 - (v/c)^2)^(-1/2)
Wobei v die Geschwindigkeit ist. Für den Spezialfall v = 0 haben wir also die bekannte Formel. Daher nehmen wir den allgemeineren Fall 0 < v < c.
Der Wurzelausdruck unter dem Bruchstrich wird aufgelöst mittels
e^2 * (1 - (v/c)^2) = m^2 * c^4
e^2 - (vmc)^2 = m^2 * c^4
Für mv haben wir den Impuls p = mv und somit
e^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2
Und das ist nichts anderes als Pythagoras.
Wichtig ist hierbei, dass nicht nur Pythagoras benutzt wurde, um die allgmeine Formel herzuleiten, sondern dass Pythagoras wirklich am Ende der Umformungen erhalten bleibt und ein so altes Gesetz in einer der leistungsfähigsten Theoreme heutiger Physik an prominenter Stelle wieder auftaucht. Eine geometrische Deutung der Energie/Masse-Äquivalenz drängt sich damit geradezu auf!
Allen bekannt ist ja die Energie-Masse-Äquivalenz-Formel von Einstein
e = mc^2
Doch diese populäre Form verbirgt mehr, als sie zeigt, denn sie gilt nur für Ruhemassen, also wenn sich die Teilchen nicht bewegen. Das ist aber die Ausnahme und nicht die Regel.
Allgemein gilt daher der Ausdruck
e = mc^2 * (1 - (v/c)^2)^(-1/2)
Wobei v die Geschwindigkeit ist. Für den Spezialfall v = 0 haben wir also die bekannte Formel. Daher nehmen wir den allgemeineren Fall 0 < v < c.
Der Wurzelausdruck unter dem Bruchstrich wird aufgelöst mittels
e^2 * (1 - (v/c)^2) = m^2 * c^4
e^2 - (vmc)^2 = m^2 * c^4
Für mv haben wir den Impuls p = mv und somit
e^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2
Und das ist nichts anderes als Pythagoras.
Wichtig ist hierbei, dass nicht nur Pythagoras benutzt wurde, um die allgmeine Formel herzuleiten, sondern dass Pythagoras wirklich am Ende der Umformungen erhalten bleibt und ein so altes Gesetz in einer der leistungsfähigsten Theoreme heutiger Physik an prominenter Stelle wieder auftaucht. Eine geometrische Deutung der Energie/Masse-Äquivalenz drängt sich damit geradezu auf!
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wuerg,
Freitag, 24. August 2012, 18:44
Physikalisch kaum sein kann ein Ergebnis, in dem Energie e und Impuls p die gleiche Dimension haben. Sie haben sich verrechnet, sonst wäre die Energie-Impuls-Beziehung e^2=(Pc)^2+(mc^2)^2 herausgekommen, worin P=p/sqrt(1-(v/c)^2) ist. Darin ist ebenfalls Pythagoras zu sehen, doch ist er bei sqrt(1-x^2) nie fern. Und umgekehrt.
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klauslange,
Freitag, 24. August 2012, 23:50
Hallo Herr Wuerg, lange hier nichts gelesen von Ihnen!
Ja, beim Ausmultipliziere habe ich das e^2 nicht richtig in die Klammer gezogen, es ist ja e^2 = m^2 * c^4 und schon fehlt das c^2 als Faktor beim Impuls. Korrigiert, Danke.
Ja, klar kommt durch den Korrekturterm Pythagoras hinein, aber dass er bis zum Ende auch so klar sichtbar bleibt und v = 0, für das ja die bekannte Formel oft gezeigt wird, nur ein Sonderfall ist und stattdessen die Energie-Impuls-Beziehung als Grundgleichung dorthin gehört, wissen die wenigsten. Es wird auch kaum erwähnt. Mit der von mir gebrachten pythagoräischen Form aber, wird die Geometriesierung noch deutlicher, wie ich finde.
Ja, beim Ausmultipliziere habe ich das e^2 nicht richtig in die Klammer gezogen, es ist ja e^2 = m^2 * c^4 und schon fehlt das c^2 als Faktor beim Impuls. Korrigiert, Danke.
Ja, klar kommt durch den Korrekturterm Pythagoras hinein, aber dass er bis zum Ende auch so klar sichtbar bleibt und v = 0, für das ja die bekannte Formel oft gezeigt wird, nur ein Sonderfall ist und stattdessen die Energie-Impuls-Beziehung als Grundgleichung dorthin gehört, wissen die wenigsten. Es wird auch kaum erwähnt. Mit der von mir gebrachten pythagoräischen Form aber, wird die Geometriesierung noch deutlicher, wie ich finde.
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wuerg,
Samstag, 25. August 2012, 02:37
Ich muß noch etwas rumnörgeln: Sie gehen von e=mc^2/sqrt(1-(v/c)^2) aus, benutzen in der Umformung aber e=mc^2, um auf mvc=pc zu kommen. Deshab hatte ich das große P verwendet.
Sie haben lange nichts von mir gehört, weil ich mich in meinem Blog nicht aufraffen konnte und in Ihrem auf die Ergebnisse der "border primes" wartete.
Sie haben lange nichts von mir gehört, weil ich mich in meinem Blog nicht aufraffen konnte und in Ihrem auf die Ergebnisse der "border primes" wartete.
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