Donnerstag, 7. Februar 2013
Summen und Primzahlen
klauslange,16:26h
Wie vor einiger Zeit versprochen, ein kleiner Einblick in meinen aktuellen Primzahlarbeiten:
Wenn man fortlaufend von 1 an die natürlichen Zahlen bis zu einem gegebenen n aufsummiert, dann erhält man die sogenannten Dreieckszahlen:
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
usw.
Wie man leicht einsieht, sind alle so gebildeten Summen größer 3 stets zusammengesetzt, können also keine Primzahlen sein.
Gut, nimmt man stattdessen ausschließlich ungerade Zahlen, dann erhält man Quadratzahlen, die größer als 1 nunmal auch zusammengestzt sind:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
usw.
Was aber, wenn man ausschleißlich Primzahlen fortlaufend aufsummiert? Dann erhält man auch als Summe immer wieder Primzahlen:
2=2
2+3=5
2+3+5=10
2+3+5+7=17
2+3+5+7+11=28
2+3+5+7+11+13=41
usw.
Ich kenne keinen Beweis, der klärt, ob durch das Aufsummieren fortlaufender Primzahlen von 2 an unendlich viele Primzahlen gebildet werden. Aber wenden wir uns einer anderen Frage zu:
Was fällt auf?
Von den geradzahligen Summen kann man viele durch die Dreieckszahlen aussortieren, denn es ist
2+3+5=10=1+2+3+4
oder auch
2+3+5+7+11=28=1+2+3+4+5+6+7
usw.
Ferner lassen sich auch primzahlige Summen bilden, wenn man die Quadratzahlensummen hernimmt und sie mit der Primzahl 2 addiert, so zum Beispiel
1+2+3+5=11
1+2+3+5+7+9+11+13+15+17=83
usw.
Es kommt also zu der bislang unbewiesenen Frage, ob es unendlich viele Primzahlen der Form n^2 + 2 gibt.
Man kann nun alle diese Reihenbildungen miteinander kombinieren und erhält interessante Strukturen, die zu neuen interessanten additiven Eigenschaften von Primzahlen führen und weit mehr...
Wenn man fortlaufend von 1 an die natürlichen Zahlen bis zu einem gegebenen n aufsummiert, dann erhält man die sogenannten Dreieckszahlen:
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
usw.
Wie man leicht einsieht, sind alle so gebildeten Summen größer 3 stets zusammengesetzt, können also keine Primzahlen sein.
Gut, nimmt man stattdessen ausschließlich ungerade Zahlen, dann erhält man Quadratzahlen, die größer als 1 nunmal auch zusammengestzt sind:
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
usw.
Was aber, wenn man ausschleißlich Primzahlen fortlaufend aufsummiert? Dann erhält man auch als Summe immer wieder Primzahlen:
2=2
2+3=5
2+3+5=10
2+3+5+7=17
2+3+5+7+11=28
2+3+5+7+11+13=41
usw.
Ich kenne keinen Beweis, der klärt, ob durch das Aufsummieren fortlaufender Primzahlen von 2 an unendlich viele Primzahlen gebildet werden. Aber wenden wir uns einer anderen Frage zu:
Was fällt auf?
Von den geradzahligen Summen kann man viele durch die Dreieckszahlen aussortieren, denn es ist
2+3+5=10=1+2+3+4
oder auch
2+3+5+7+11=28=1+2+3+4+5+6+7
usw.
Ferner lassen sich auch primzahlige Summen bilden, wenn man die Quadratzahlensummen hernimmt und sie mit der Primzahl 2 addiert, so zum Beispiel
1+2+3+5=11
1+2+3+5+7+9+11+13+15+17=83
usw.
Es kommt also zu der bislang unbewiesenen Frage, ob es unendlich viele Primzahlen der Form n^2 + 2 gibt.
Man kann nun alle diese Reihenbildungen miteinander kombinieren und erhält interessante Strukturen, die zu neuen interessanten additiven Eigenschaften von Primzahlen führen und weit mehr...
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wuerg,
Donnerstag, 7. Februar 2013, 20:01
Das Auftreten von Primzahlen in Primzahlsummen oder der Nähe von Quadratzahlen ist zwar nicht zufällig, doch läßt meines Wissens keine bekannte Struktur erkennen. Daß gewisse kleinzahlige Fälle interessant sind, ist eine andere Sache.
Sie erwähnen die ersten Summen 5, 17 und 41, die tatsächlich prim sind. Danach aber ist schon Schluß. Es kommen noch 197 und 281, dann muß man bis 7699 ausharren.
Auch nach 3, 11 und 83 ist es mit den Primzahlen vorbei. Es folgen 227, 443, 1091 usw. ohne bekanntes System und deshalb Feld von Rekordjägern. Das vermag ich nicht als Struktur zu sehen.
Sie erwähnen die ersten Summen 5, 17 und 41, die tatsächlich prim sind. Danach aber ist schon Schluß. Es kommen noch 197 und 281, dann muß man bis 7699 ausharren.
Auch nach 3, 11 und 83 ist es mit den Primzahlen vorbei. Es folgen 227, 443, 1091 usw. ohne bekanntes System und deshalb Feld von Rekordjägern. Das vermag ich nicht als Struktur zu sehen.
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klauslange,
Freitag, 8. Februar 2013, 11:06
Ja!
Die von mir erwähnten Reihen alleine lassen auch für mich keine Struktur erkennen (außer der Vermutung, dass die beiden letzten unendlich viele Prinzahlen erzeugen). Damit habe ich nicht zuviel verraten. Aber mit ähnlich gelagerten Reihen und deren Kompbination, lässt sich doch einiges aussagen, was ich natürlich in einem Blog-Beitrag nicht vorwegnehmen möchte...
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wuerg,
Samstag, 9. Februar 2013, 16:55
Wenn nicht besondere oder bekannte Gründe vorliegen, ist immer das gleiche zu erwarten: Sind die Folgen dicht genug, werden auch unendlich viele Primzahlen darin sein, andernfalls nicht. In beiden Fällen fällt es schwer, diesen Umstand zu beweisen.
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