Sonntag, 20. Mai 2012
Ungerade Zahl als Summe von fünf Primzahlen
klauslange,22:55h
Terence Tao hat einen Beweis vorgelegt, der besagt, dass jede ungerade Zahl größer als 1 als Summe von höchstens fünf Primzahlen dargestellt werden kann, wie spiegel-online berichtet: hier.
Terence Tao ist schon sehr ernst zu nehmen und vorbehaltlich einer Beweisprüfung dürfte das Ergebnis wohl korrekt sein.
Interessant ist ein solches Ergebnis schon deswegen, weil es eine bislang unbewiesene Vermutung gibt, die besagt, dass jede ganze Zahl größer als 2 eine Summe aus zwei Primzahlen darstellbar ist. Ferner wird vermutet, dass für ungerade Zahlen größer als 1 höchstens drei Primzahlen sein sollen.
Für letzten Fall gibt es bereist den Beweis von Vinogradow, dass für genügend große ungerade Zahlen die Summe aus drei Primzahlen existiert. Aber was ist 'genügend groß'? Nun, solche Zahlen sind in erster Näherung superriesig, so dass sie keine praktische Relevanz besitzen.
Tao hat nun mit seinem Beweis ganz praktisch gezeigt, dass zumindest höchstens fünf Primzahlen als Summanden ausreichen, um jede ungerade Zahl größer als 1 darzustellen, also auch die in der Praxis relevanten.
Mit der von Tao benutzten Methode kann man wohl kaum die starke Vermutung für gerade Zahlen aus zwei Primzahlen beweisen, wohl könnten aber geschickte Modifikationen dazu führen, dass man mit maximal drei Primzahlsummanden jede ungerade Zahl größer 1 wird darstellen können. Insofern ist Taos Beweis schon ein Durchbruch.
Übrigens:
Unter Voraussetzung, dass die allgemeine Riemann-Hypothese wahr ist, ist die 'schwache' Goldbachvermutung für ungerade Zahlen - also eben die Summe aus maximal drei Primzahlen für jede ungerade Zahl größer 1 - bewiesen. Da aber die Riemannhypothese noch nicht bewiesen ist, kann man dazu nichts abschließend sagen...
Terence Tao ist schon sehr ernst zu nehmen und vorbehaltlich einer Beweisprüfung dürfte das Ergebnis wohl korrekt sein.
Interessant ist ein solches Ergebnis schon deswegen, weil es eine bislang unbewiesene Vermutung gibt, die besagt, dass jede ganze Zahl größer als 2 eine Summe aus zwei Primzahlen darstellbar ist. Ferner wird vermutet, dass für ungerade Zahlen größer als 1 höchstens drei Primzahlen sein sollen.
Für letzten Fall gibt es bereist den Beweis von Vinogradow, dass für genügend große ungerade Zahlen die Summe aus drei Primzahlen existiert. Aber was ist 'genügend groß'? Nun, solche Zahlen sind in erster Näherung superriesig, so dass sie keine praktische Relevanz besitzen.
Tao hat nun mit seinem Beweis ganz praktisch gezeigt, dass zumindest höchstens fünf Primzahlen als Summanden ausreichen, um jede ungerade Zahl größer als 1 darzustellen, also auch die in der Praxis relevanten.
Mit der von Tao benutzten Methode kann man wohl kaum die starke Vermutung für gerade Zahlen aus zwei Primzahlen beweisen, wohl könnten aber geschickte Modifikationen dazu führen, dass man mit maximal drei Primzahlsummanden jede ungerade Zahl größer 1 wird darstellen können. Insofern ist Taos Beweis schon ein Durchbruch.
Übrigens:
Unter Voraussetzung, dass die allgemeine Riemann-Hypothese wahr ist, ist die 'schwache' Goldbachvermutung für ungerade Zahlen - also eben die Summe aus maximal drei Primzahlen für jede ungerade Zahl größer 1 - bewiesen. Da aber die Riemannhypothese noch nicht bewiesen ist, kann man dazu nichts abschließend sagen...
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